Curvas inyectivas con igual imagen tienen igual longitud
Se demuestra que dada una curva geométrica (que puede ser cerradas), cualquier parametrización inyectiva proporciona la misma longitud.
\(\pi\) es constante (¡e igual a 3 exactamente! No :)
Se demuestra que \(\pi\), definido como la relación entre la longitud y el diámetro de una circunferencia, es constante.
Problema de lunas
Demostración de que el cuadrado y la luna en el siguiente dibujo tienen el mismo área.
Extensión continua de números armónicos
Se da una posible extensión continua de los números armónicos a \(\mathbb{C} \setminus \{-1, -2, \cdots\}\).
Caracterización de la función exponencial
Se demuestra que dada una sucesión de números reales \(\{x_n\}_{n=1}^\infty\) divergente a \(+ \infty\), se cumple que
\(e^a = \underset{n \to + \infty}{\text{lim}} \left( 1 + \dfrac{a}{x_n} \right)^{x_n}\)
Caracterización de la segunda derivada como límite de la función original
Se demuestra que
\(f^{\prime\prime}(x_0) = \underset{h \to 0}{\text{lim}} \dfrac{f(x_0 + h) + f(x_0 – h) – 2 f(x_0)}{h^2}\)
¿Cuántas veces al día forman un ángulo recto las manecillas de un reloj?
Se resuelve el problema planteado.
Personas y clubes
Se resuelve el siguiente problema utilizando herramientas de álgebra lineal:
En un pueblo hay \(n\) personas apuntadas a \(m\) clubs, de modo que en cada club hay un número impar de personas y entre dos clubs distintos el número común de personas es siempre par. Demuestra que \(m \leq n\).
Caracterización de la integral de Darboux-Riemann
Se dan diversas caracterizaciones de la integral de Darboux-Riemann.
Ecuación funcional con integrales
Se resuelve el siguiente problema:
Halla todas las funciones continuas \(g: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) tales que
\(\displaystyle \int_0^1 g(x) – xg(x) \text{d}x = \dfrac{1}{12}\)
Integral de un polinomio conocidos ciertos valores del mismo
Se resuelve el siguiente problema:
Sea \(p\) un polinomio de grado \(5\) tal que \(p(0) = 1, p(\sqrt{15}) = 7\) y \(p(-\sqrt{15}) = 4\). Calcula \(\int_{-5}^5 p(x) \text{d}x\).
Integrabilidad de la parte entera
Se demuestra que la función parte entera es integrable utilizando la definición de integral de Darboux-Riemann.
Integral con primitiva a trozos
Se da un ejemplo de una función integrable, para la cual si no se lleva cuidado en el cálculo puede obtenerse una respuesta errónea.
Si \(A\) es conulo, todo real positivo se expresa como producto de elementos de \(A\)
Se demuestra que si \(A \subset (0, +\infty)\) tiene complementario con medida nula, entonces todo real positivo puede expresarse como producto de elementos de \(A\).
Teorema de integración por partes generalizado
Se demuestra que dadas \(f, g: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\), si \(f\) es derivable, \(f’\) es integrable y \(g\) es integrable con primitiva \(G\), entonces
\(\displaystyle \int_a^b f(x) g(x) \text{d}x = [f(x) G(x)]_{x=a}^{x=b} – \int_a^b f'(x) G(x) \text{d}x\)
Serie de cocientes entre polinomios y factoriales
Se presenta cómo calcular el valor de series de la forma
\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{P(n)}{(n+a)!}\)
donde \(P\) es un polinomio y \(a \in \mathbb{Z}_{+}\).
Transformación de series de potencias en \(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\) a series de potencias en \(\mathbb{N}\)
Se demuestra como, bajo ciertas condiciones se cumple que
\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty a_{n,m} z^{b_{n,m}} = \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty a_{n,m} z^{b_{n,m}} = \sum_{k=0}^\infty c_k z^k\)
donde
\(\displaystyle c_k = \sum_{b_{n,m} = k} a_{n,m}\)
Subconjuntos numerables de conjuntos infinitos
Se demuestra que todo conjunto infinito de \(\mathbb{R}\) contiene un subconjunto numerable si, y solo si, todo subconjunto infinito de \(\mathbb{R}\) es D-infinito.
También se prueba que si \(X \subset \mathbb{R}\) es no numerable, entonces existe una aplicación inyectiva \(f: \mathbb{N} \rightarrow X\) tal que
\(\forall n \in \mathbb{N}\, f(n) > 0\) y \(\sum_{n=0}^\infty f(n) = +\infty\)
o
\(\forall n \in \mathbb{N}\, f(n) < 0\) y \(\sum_{n=0}^\infty f(n) = -\infty\)
\(240\) es el mayor número natural para el cual se cumple que si \(p, q\) son primos mayores o iguales a \(7\), entonces \(240\mid p^4 – q^4\)
Se resuelve el problema planteado.
ADENDA: Como me señaló Iganacio Larrosa en el grupo de Telegram «Retos Matemáticos», la condición de que «\(p\) y \(q\) sean primos mayores o iguales a \(7\)» se puede relajar. Si la sustituimos por «\(p\) y \(q\) son coprimos con \(30\)», el resultado sigue siendo cierto y con la misma demostración dada.
\(x^n + y^n = z^n\) no tiene soluciones naturales con \(n \geq z\)
Se resuelve el problema planteado.
Hay una errata: Donde pone \(\prec\), realmente debería poner \(<\).
Caracterización de compacidad en términos de acotación total
Se demuestra que en un espacio métrico completo \(X\) un subconjunto \(K \subset X\) es compacto si, y solo si, es cerrado y totalmente acotado.
Caracterización de la compacidad en términos de sucesiones en \(\mathbb{R}^n\)
Se demuestra que un subconjunto de \(\mathbb{R}^n\) es compacto si, y solo si, es secuencialmente compacto. Realmente se prueba para cualquier espacio métrico.
En un espacio normado separable todo cerrado es frontera de otro conjunto.
Se demuestra lo dicho.
Todo espacio topológico admite una inclusión en un espacio separable
Se demuestra lo dicho.
Función de Thomae
Se demuestra que la función de Thomae es continua en los números irracionales y discontinua en los racionales.