Complejidad en espacios de Banach separables
Seminario de Jóvenes Investigadores del IMAG (23 noviembre 2023, Granada)
En esta presentación se introducirán varias codificaciones para la clase de los espacios de Banach separables que permiten estudiar la complejidad de distintas familias de dichos espacios. Para ello se introducirán brevemente algunos conceptos de teoría descriptiva de conjuntos, se expondrán la construcción y relaciones entre las distintas codificaciones y se concluirá con algún ejemplo de su uso.
Pasen y Lean
IMAG Functional Analysis Seminar (2 octubre 2024, Granada)
En este pequeño seminario hablaremos sobre qué son los interactive theorem provers, por qué usarlos y cómo podemos hacerlo.
Con más detalle, un interactive theorem prover es un programa que asiste al usuario en la formalización (dentro de un marco lógico puramente sintáctico) de resultados matemáticos de modo que un ordenador puede verificar su validez. A lo largo de la charla veremos algunos resultados famosos formalizados en este tipo de programas, el interés que puede tener hacerlo, un (muy) breve vistazo a la lógica subyacente y algunos ejemplos prácticos sobre cómo usar uno de ellos conocido como Lean.
Everything you always wanted to know about Hahn-Banach theorem (but were afraid to prove)
6th Bringing Young Mathematicians Together Conference (4-7 noviembre 2024, Valladolid)
In this talk we will present injective Banach spaces, its closest relatives and its relation with complementability.
An injective Banach space is a generalization of \( \mathbb{R}\) in the sense that they can be substituted by the real numbers in Hahn-Banach theorem and it still remains true. More precisely, a Banach space X is called (isometrically) injective if for every pair of normed spaces \(Y \subset Z\) and any bounded linear operator \(t : Y \rightarrow X\), there exists a bounded linear operator \(T : Z \rightarrow X\) that extends \(t\) and has the same norm.
These spaces have a well-known characterization (no spoilers) and it turns out that the injectivity impose quite strong requirements on the geometry of the underlying space. For that reason, one can try to relax the conditions of these generalized version of Hahn-Banach theorem to obtain a wider range of spaces. In this line, one can relax the conditions on the operators we aim to extend, for example restricting to extensions of compact operators, or one can relax the condition on the domain of the operators, for example establishing bounds on the density character of these spaces.
We will briefly present both approaches, their relations with complementability and we will conclude with some interesting open questions and the work we are doing about them.
El axioma de elección
Este seminario fue impartido como una última sesión especial en un curso de introducción a la lógica matemática (puede consultarse en la sección de Apuntes dentro de «Anotaciones ilógicas»). Está orientado a estudiantes de matemáticas con un pequeño bagaje en teoría de conjuntos y en él se presenta el axioma de elección junto a varias formulaciones equivalentes, algunas versiones débiles del mismo y varios «desatres» fruto de asumirlo o no.
ADENDA: Como me ha señalado Carlos Ivorra, en la página 43 hay un error. Se dice que no se sabe si ZF + AD es equiconsistente con ZF, pero esto es falso. La consistencia de ZF+AD es una hipótesis estrictamente más fuerte que la consistencia de ZF.
En efecto, si a partir de la consistencia de ZF pudiéramos demostrar la de ZF+AD, entonces podríamos demostrar la de ZFC más la existencia de infinitos cardinales de Woodin (porque estas dos teoría son equiconsistentes como también aparece en la página 43), pero los cardinales de Woodin son fuertemente inaccesibles y no es posible demostrar la consistencia de que exista un cardinal fuertemente inaccesible, ni siquiera suponiendo la consistencia de ZFC (ver la Sección 3.7 en el libro Pruebas de consistencia de Carlos).
Podemos elegir no elegir en análisis funcional
IMAG Functional Analysis Seminar (24 junio 2025, Granada)
En esta charla exploraremos las relaciones entre el axioma de elección (o versiones débiles del mismo) y los teoremas clásicos del análisis funcional mostrando que no nos queda otra opción que «elegir elegirlo».
Podemos elegir no elegir
XXVI ENEM (24 julio 2025, Granada)
Un seminario muy similar al anterior sobre el axioma de elección, pero que requiere un bagaje menor y que estuvo orientado a cualquier estudiante de matemáticas.
Dos reglas para dominarlos a todos
En esta charla veremos qué, con únicamente dos simples reglas, podemos construir todos los números, infinitos, finitos e infinitesimales. (Referencias)