¿Qué son los números reales? IV

Para ver que es una relación de orden estricto debemos ver que es irreflexiva y transitiva. Comencemos con la irreflexividad.

Supongamos, por reducción al absurdo, que existe un número decimal \(x\) cumpliendo que \(x \prec x\). Por definición esto implica que existe un número natural \(N\) tal que \(x_N < x_N\) y esto es claramente una contradicción.

Respecto a la transitividad, sean \(x, y, z\) números decimales tales que \(x \prec y\) e \(y \prec z\), y veamos que \(x \prec z\). Por definición, existen dos naturales \(N_1, N_2\) tales que \(x_{N_1} < y_{N_1}\), mientras que \(x_n = y_n\) si \(n < N_1\), e \(y_{N_2} < z_{N_2}\) siendo \(y_n = z_n\) si \(n < N_2\). Tomando entonces \(N = \min\,\{N_1, N_2\}\) tenemos que:

• Si \(N_1 \leq N_2\), entonces \(N = N_1\) y

  \(x_N = x_{N_1} < y_{N_1} \leq z_{N_1} = z_N.\)

  Además, si \(n < N\), entonces también \(n < N_2\) y tenemos que \(x_n = y_n = z_n\).
• Si \(N_2 < N_1\) se prueba de forma análoga que \(x_N < z_N\) y que \(x_n = z_n\) si \(n < N\).

Vemos que en cualquier caso se cumple que \(x \prec z\) tal y como queríamos ver.

Finalmente, para ver que este orden es total debemos probar que si \(x\) e \(y\) son dos números decimales distintos, entonces \(x \prec y\) o \(y \prec x\). Para ello, basta observar que como \(x \not = y\), existe el menor número natural \(N\) tal que \(x_N \not = y_N\), con lo que o bien \(x_N < y_N\), lo que implica que \(x \prec y\), o bien \(y_N < x_N\), lo que implica que \(y \prec x\). \(\blacksquare\)

Sean \(p, q \in \mathbb{Q}\) tales que \(p < q\) y denotemos por \(x := j(p)\) e \(y := j(q)\).

Como \(j\) es inyectiva y \(p \not = q\), tenemos que \(x \not = y\), luego existe el menor natural \(N\) tal que \(x_N \not = y_N\). Para probar entonces que \(x \prec y\) basta con demostrar que \(x_N < y_N\), luego supongamos, por reducción al absurdo, que \(y_N < x_N\).

Como \(x\) representa a \(p\) e \(y\) representa a \(q\), sabemos que \(\lim s_n = p\) y \(\lim t_n = q\), donde

\(\begin{align*}
s_n := \sum_{k=0}^n \dfrac{x_k}{10^k}, \\
t_n := \sum_{k=0}^n \dfrac{y_k}{10^k}.
\end{align*}\)

Ahora bien, como \(x_k = y_k\) para cada \(k < N\), es claro que \(s_n = t_n\) para cada \(n < N\). Además, es también claro que al ser \(y_N < x_N\) se cumple que \(t_N < s_N\), y si es \(n > N\) usando el Lema 7.4 obtenemos que

\(\begin{align*}
t_n & = t_{N-1} + \dfrac{y_N}{10^N} + \sum_{k=N+1}^n \dfrac{y_k}{10^k} \leq t_{N-1} + \dfrac{y_N}{10^N} + \sum_{k=N+1}^n \dfrac{9}{10^k} \\
& = t_{N-1} + \dfrac{y_N}{10^N} + \dfrac{1}{10^N} – \dfrac{1}{10^n} < t_{N-1} + \dfrac{y_N + 1}{10^N} \leq t_{N-1} + \dfrac{x_N}{10^N} \\
& = s_{N-1} + \dfrac{x_N}{10^N} = s_N \leq s_n.
\end{align*}\)

En definitiva, tenemos que \(t_n \leq s_n\) para cada \(n \in \mathbb{N}\) y el Teorema 4.18 nos asegura entonces que \(q = \lim t_n \leq \lim s_n = p\), lo cual contradice el hecho de que \(p < q\).

Concluimos entonces que, en efecto, \(x_N < y_N\) y con ello \(j(p) \prec j(q)\).

Para probar el recíproco basta ver que si \(q \leq p\), entonces \(j(q) \preceq j(p)\) (¿por qué?), pero esto es inmediato por la parte que ya hemos visto. \(\blacksquare\)

Como \(x \prec z\), existe cierto natural \(N \in \mathbb{N}\) tal que \(x_N < z_N\) y \(x_n = z_n\) para cada \(n < N\). Además, como \(x \in \mathbb{R}\) no puede ser un número decimal máximo, con lo que existe cierto \(M > N\) tal que \(x_M \not = 9\). Podemos definir entonces \(y \in \mathcal{Q}\) como

\(\begin{align*}
y_n := \left\{
\begin{array}{lcl}
x_n & \text{si} & n \leq N \\
9 & \text{si} & N < n \leq M \\
0 & \text{si} & n > M
\end{array} \right.
\end{align*}\)

y es claro que \(x \prec y \prec z\). \(\blacksquare\)

En primer lugar, como \(x\) e \(y\) son equivalentes y \(x\) es máximo, si denotamos por \(m := n_9(x)\) tenemos que

\(\begin{align*}
y_n = \left\{
\begin{array}{lcc}
x_n & \text{si} & n < m \\
x_n + 1 & \text{si} & n = m \\
0 & \text{si} & n > m
\end{array} \right.
\end{align*}\)

Esto muestra que, claramente, \(x \prec y\).

Por otra parte, supongamos, por reducción al absurdo, que existe cierto \(z \in \mathbb{D}\) tal que \(x \prec z \prec y\). Como \(x_n = y_n\) para cada \(n < m\), claramente debe ser \(z_n = x_n\) para cada \(n < m\) (¿por qué?). Además, como \(x \prec z\) lo anterior también implica que \(x_m \leq z_m\). De igual modo, como \(z \prec y\) y \(z_n = y_n\) para cada \(n < m\), tenemos que \(z_m \leq y_m\), luego \(x_m \leq z_m \leq x_m + 1\) y se nos plantean únicamente dos opciones, o bien \(z_m = x_m\), o bien \(z_m = x_m + 1\).

Si se da la primera opción, es decir, si \(z_m = x_m\), entonces tenemos que \(z_n = x_n\) para cada \(n \leq m\) y \(z_n \leq 9 = x_n\) para cada \(n > m\), pero esto contradice que \(x \prec z\). Por otro lado, si se da la segunda opción, es decir, si \(z_m = x_m + 1\), entonces entonces tenemos que \(z_n = y_n\) para cada \(n \leq m\) e \(y_n = 0 \leq z_n\) para cada \(n > m\), pero esto contradice que \(z \prec y\).

En cualquier caso tenemos una contradicción, lo que demuestra que, tal y como queríamos ver, no existe ningún número decimal \(z\) tal que \(x \prec z \prec y\). \(\blacksquare\)

Sea \(A \subset \mathbb{D}\) un subconjunto no vacío y acotado superiormente por cierto \(x \in \mathbb{D}\), y definamos el conjunto²Siendo más formales, este conjunto se define como \(\Lambda_0 := \{m \in \mathbb{Z} : \exists a \in A \text{ tal que } m = a_0\}.\)

\(\Lambda_0 := \{a_0: a \in A\},\)

es decir, el conjunto formado por los primeros términos de cada elemento de \(A\). Como \(x\) es cota superior de \(A\), dado cualquier \(a \in A\) se cumple que \(a_0 = x_0\) o \(a_0 < x_0\), luego \(x_0\) es cota superior de \(\Lambda_0\). Al ser \(\Lambda_0\) un conjunto de números enteros acotado superiormente podemos concluir que existe su máximo (¿por qué?), el cual denotaremos por \(y_0\).

Observemos entonces que si \(a, b \in A\), \(a_0 = y_0\) y \(b_0 \not = y_0\), entonces \(b_0 < y_0\), con lo que \(b \prec a\). Como estamos buscando el supremo de \(A\), esto nos dice que podemos obviar cualquier elemento de \(A\) cuyo primer término no sea igual a \(y_0\), luego tiene sentido definir el conjunto

\(A_0 := \{a \in A: a_0 = y_0\}.\)

Como este conjunto no es vacío (¿por qué?), podemos repetir otra vez la misma historia y definir

\(\Lambda_1 := \{a_1: a \in A_0\},\)

y como todos sus elementos son enteros entre \(0\) y \(9\), existe su máximo \(y_1\).

Como antes, observamos que si \(a, b \in A_0\), \(a_1 = y_1\) y \(b_1 \not = y_1\), entonces \(b \prec a\), lo que nuevamente nos dice que podemos considerar únicamente los elementos de \(A_0\) tales que \(a_1 = y_1\), con lo que tiene sentido definir

\(A_1 := \{a \in A_0: a_1 = y_1\} = \{a \in A: a_0 = y_0 \text{ y } a_1 = y_1\},\)

el conjunto de enteros entre \(0\) y \(9\) no vacío

\(\Lambda_2 := \{a_2: a \in A_1\}\)

y su máximo \(y_2\).

En general, podemos continuar el proceso anterior indefinidamente, lo que formalmente se traduce en la definición recursiva donde

\(\begin{align*}
\Lambda_0 & = \{a_0: a \in A\}, \\
y_0 & = \max\, \Lambda_0, \\
A_0 & = \{a \in A: a_0 = y_0\},
\end{align*}\)

y para cada \(n \geq 0\)

\(\begin{align*}
\Lambda_{n+1} & = \{a_{n+1}: a \in A_n\},\\
y_{n+1} & = \max\, \Lambda_{n+1}, \\
A_{n+1} & = \{a \in A_n: a_{n+1} = y_{n+1}\}.
\end{align*}\)

Una simple inducción muestra que \(\Lambda_n\) y \(A_n\) son no vacíos para cada \(n \in \mathbb{N}\) y que

\(\begin{align}
A_n = \{a \in A: a_k = y_k \text{ para cada } k \leq n\}. \qquad (2)\end{align}\)

Además, es claro que la sucesión \(y := \{y_n\}_{n=0}^\infty\) es un número decimal, con lo que únicamente resta ver que es el supremo de \(A\).

Comencemos viendo que \(y\) es cota superior de \(A\), es decir, que dado \(a \in A\) se cumple que \(a \preceq y\).

Si \(a = y\) no tenemos nada que probar, con lo que supongamos que \(a \not = y\). En este caso existe el mínimo número natural \(N\) tal que \(a_N \not = y_N\) y tenemos dos opciones:

• Si \(N = 0\), la definición de \(y_0\) nos da que \(a_0 < y_0\), luego que \(a \prec y\).
• Si \(N > 0\), entonces por la definición de \(N\) se tiene que \(a_n = y_n\) para cada \(n \leq N – 1\), luego por (2) sabemos que \(a \in A_{N-1}\). Así, como \(y_N = \max\, \{a_N: a \in A_{N-1}\}\), obtenemos que \(a_N \leq y_N\) y al ser distintos que \(a_N < y_N\). Esto prueba que \(a \prec y\).

En cualquier caso obtenemos que \(a \prec y\) que es justo lo que buscábamos.

Finalmente veamos que \(y\) es la menor de las cotas superiores, es decir, que si \(z \in \mathbb{D}\) es otra cota superior de \(A\), entonces \(y \prec z\).

Como \(z\) es cota superior de \(A\), siguiendo lo visto al comienzo de la prueba obtenemos que \(a_0 \leq z_0\) para cada \(a \in A\), con lo que en particular \(y_0 \leq z_0\). Así, si \(y_0 < z_0\) obtenemos directamente que \(y \prec z\), mientras que si \(y_0 = z_0\), entonces existe el mínimo número natural \(N \geq 1\) tal que \(y_N \not = z_N\). Ahora, como \(A_{N}\) es no vacío podemos elegir un elemento suyo \(b\), que por (2) cumplirá que \(b_n = y_n\) para cada \(n \leq N\). Como además \(y_n = z_n\) para cada \(n < N\), obtenemos que \(b_n = z_n\) para cada \(n < N\), y como \(b \in A\) y \(z\) es cota superior de este conjunto, concluimos que \(y_N = b_N \leq z_N\). Como \(y_N\) y \(z_N\) son distintos, podemos asegurar que \(y_N < z_N\) y con ello que \(y \prec z\), tal y como queríamos demostrar. \(\blacksquare\)

Dado \(A\) un subconjunto no vacío y acotado superiormente de \(\mathbb{R}\), el Lema 11.6 nos asegura que tiene supremo en \(\mathbb{D}\), es decir, que existe un \(x \in \mathbb{D}\) el cual es la menor cota superior de \(A\). Si \(x \in \mathbb{R}\), entonces será el supremo de \(A\) en \(\mathbb{R}\) (¿por qué?), luego supongamos que \(x \not \in \mathbb{R}\).

Por definición, esto quiere decir que \(x\) es un número decimal máximo y podemos considerar el único número decimal exacto \(y \in \mathbb{R}\) que es equivalente a \(x\). Usando entonces el Lema 11.5 obtenemos que \(y\) es el supremo de \(A\).

En efecto, dicho lema nos dice que \(x \prec y\) y, como \(x\) es cota superior de \(A\), claramente también lo es \(y\). Además, si \(z \in \mathbb{R}\) es una cota superior de \(A\), tenemos que \(x \prec z\) (no puede ocurrir que \(x = z\) ya que \(x \not \in \mathbb{R}\)) y el Lema 11.5 nos muestra que no es posible que se cumpla la desigualdad \(z \prec y\), luego la totalidad del orden (Lema 11.2) implica que \(y \preceq z\) que es justo lo que queríamos demostrar. \(\blacksquare\)

La asociatividad y la conmutatividad os las dejo como ejercicio, mientras que el elemento neutro es, como todos esperábamos, el número decimal \(\bigcirc: = 0.000\cdots\). En efecto, como \(j^{-1}(\bigcirc) = 0\), dado \(x \in \mathcal{Q}\) tenemos que

\(x \oplus \bigcirc = j\left( j^{-1}(x) + j^{-1}(\bigcirc) \right) = j\left( j^{-1}(x) + 0 \right) = j\left( j^{-1}(x)\right) = x.\)

Además, dado \(x \in \mathcal{Q}\) su elemento opuesto será

\(y = j\left( -j^{-1}(x)\right),\)

pues

\(x \oplus y = j\left( j^{-1}(x) + j^{-1}(y) \right) = j\left( j^{-1}(x) – j^{-1}(x) \right) = j(0) = \bigcirc.\)

Finalmente, debemos ver que si \(x, y, z \in \mathcal{Q}\) y \(x \prec y\), entonces \(x \oplus z \prec y \oplus z\), es decir, que

\(j \left( j^{-1}(x) + j^{-1}(z) \right) \prec j \left( j^{-1}(y) + j^{-1}(z) \right).\)

Como sabemos que \(j\) respeta el orden (Proposición 11.3), lo anterior es equivalente a ver que

\(j^{-1}(x) + j^{-1}(z) < j^{-1}(y) + j^{-1}(z),\)

luego a ver que \(j^{-1}(x) < j^{-1}(y)\). Utilizando de nuevo la Proposición 11.3, vemos que esta última desigualdad es equivalente a ver que \(x \prec y\), lo cual es cierto por hipótesis. \(\blacksquare\)

En primer lugar debemos ver que \({^nx} \preceq {^{n+1}x}\) para cada \(n \in \mathbb{N}\).

Observemos que, por la definición de \({^nx}\) y \({^{n+1}x}\), tenemos que \({^nx_k} = x_k = {^{n+1}x_k}\) para cada \(k \leq n\), mientras que \({^nx_{n+1}} = 0\). Por tanto, si \(x_{n+1} > 0\) tenemos que \({^nx_{n+1}} < x_{n+1} = {^{n+1}x_{n+1}}\) y esto muestra que \({^nx} \prec {^{n+1}x}\). Por otra parte, si \(x_{n+1} = 0\), entonces \({^nx_k} = 0 = {^{n+1}x_k}\) para cada \(k \geq n + 1\), lo que implica que \({^nx} = {^{n+1}x}\).

En cualquier caso obtenemos que \({^nx} \preceq {^{n+1}x}\) tal y como queríamos demostrar.

Veamos ahora que \(x\) es cota superior del conjunto \(\{{^nx}: n \in \mathbb{N}\}\), es decir, que \({^nx} \preceq x\) para cada \(n \in \mathbb{N}\).

Si \({^nx} = x\), entonces es claro que \({^nx} \preceq x\), por lo que supongamos que son distintos. En dicho caso, como ya hemos visto muchas veces, existe el menor natural \(N\) tal que \({^nx_N} \not = x_N\) y como \({^nx_k} = x_k\) para cada \(k \leq n\), concluimos que \(N > n\). Esto implica que \({^nx_N} = 0\) y al ser \(x_N \geq 0\) obtenemos que \({^nx_N} < x_N\), lo que muestra que \({^nx} \prec x\).

Finalmente, debemos ver que \(x\) es la menor de las cotas superiores de \(\{{^nx}: n \in \mathbb{N}\}\).

Sea pues \(z \in \mathbb{R}\) una cota superior de \(\{{^nx}: n \in \mathbb{N}\}\) distinta de \(x\) y \(N \in \mathbb{N}\) el menor natural tal que \(x_N \not = z_N\). Tenemos entonces que \(z_k = x_k = {^Nx_k}\) para cada \(k < N\) y \(z_N \not = {^Nx_N}\), luego como \({^Nx} \preceq z\), debe ser \({^Nx_N} < z_N\), es decir, \(x_N < z_N\) y esto prueba que \(x \prec z\) como queríamos demostrar. \(\blacksquare\)

Debemos ver que

\(x \oplus y = \sup\,\{{^nx} \oplus {^ny}: n \in \mathbb{N}\}.\)

En primer lugar, observemos que por el Lema 12.2 sabemos que \({^nx} \preceq x\) e \({^ny} \preceq y\) para cada \(n \in \mathbb{N}\), luego como \(\mathcal{Q}\) es un grupo ordenado sabemos que \({^nx} \oplus {^ny} \preceq x \oplus y\).

Hemos demostrado pues que \(x \oplus y\) es cota superior del conjunto \(\{{^nx} \oplus {^ny}: n \in \mathbb{N}\}\), y solo resta probar que es la menor de las cotas superiores, es decir, que si \(z \in \mathbb{R}\) es una cota superior de dicho conjunto, entonces \(x \oplus y \preceq z\).

Supongamos, por reducción al absurdo, que no es así, es decir, que \(z \prec x \oplus y\). Por el Lema 11.4, sabemos entonces que existe cierto \(c \in \mathcal{Q}\) tal que \(z \prec c \prec x \oplus y\). Ahora bien, el Lema 12.2 nos asegura que las sucesiones \(\{^nx\}\) e \(\{^ny\}\) son crecientes y que \(x = \sup\,\{{^nx}: n \in \mathbb{N}\}\) e \(y = \sup\,\{{^ny}: n \in \mathbb{N}\}\), luego como \(\mathcal{Q}\) es un grupo ordenado, el Teorema 4.21 nos dice que \(\lim {^nx} = x\) y \(\lim {^ny} = y\). Usando entonces el Teorema 4.17 (ii) tenemos que \(\lim ({^nx} \oplus {^ny}) = x \oplus y\), y como \({^nx} \oplus {^ny} \preceq z \prec c\) para cada \(n \in \mathbb{N}\), el Teorema 4.18 (ii) nos muestra que \(x \oplus y \preceq c\), lo cual es la contradicción buscada. \(\blacksquare\)

Se prueba de forma completamente análoga a lo visto para \({^nx} \oplus {^ny}\) que los conjuntos \(\{{^na} \oplus {^nb}: n \in \mathbb{N}\}\) y \(\{{^nc} \oplus {^nd}: n \in \mathbb{N}\}\) están acotados superiormente, con lo que existe su supremo en \(\mathbb{R}\).

Veamos que

\(\begin{align}
{^ma} \oplus {^mb} \preceq \sup\,\{{^nc} \oplus {^nd}: n \in \mathbb{N}\} \qquad (5)\end{align}\)

para cada \(m \in \mathbb{N}\), lo que prueba que

\(\begin{align}
\sup\,\{{^na} \oplus {^nb}: n \in \mathbb{N}\} \preceq \sup\,\{{^nc} \oplus {^nd}: n \in \mathbb{N}\}. \qquad (6)\end{align}\)

Distingamos cuatro casos:

• Existen ciertos \(M, N \in \mathbb{N}\) tales que \({^Ma} = x\) y \({^Nb} = y\).

  Como \({^Ma}\) y \({^Nb}\) son elementos de \(\mathcal{Q}\), en particular \(x, y \in \mathcal{Q}\) y, como \(\mathcal{Q}\) es un grupo ordenado, podemos usar el Teorema 4.21 (i) para obtener que

  \(\begin{align*} x & = \lim {^na} = \lim {^nc}, \\ y & = \lim {^nb} = \lim {^nd}. \end{align*}\)

  El Teorema 4.17 (ii) nos dice entonces que \(x \oplus y = \lim ({^na} \oplus {^nb}) = \lim ({^nc} \oplus {^nd}),\) y como \(\{{^na} \oplus {^nb}\}\) y \(\{{^nc} \oplus {^nd}\}\) son crecientes y están acotadas superiormente, el Teorema 4.21 (ii) nos muestra que

  \(\begin{align*} \sup\,\{{^na} \oplus {^nb}: n \in \mathbb{N}\} & = \lim ({^na} \oplus {^nb}) = x \oplus y = \lim ({^nc} \oplus {^nd}) \\ & = \sup\,\{{^nc} \oplus {^nd}: n \in \mathbb{N}\}, \end{align*}\)

  lo que prueba (6).
• Existe cierto \(M \in \mathbb{N}\) tal que \({^Ma} = x\) y \({^nb} \prec y\) para cada \(n \in \mathbb{N}\).

  Dado \(m \in \mathbb{N}\), como \(y = \sup\,\{{^nd}: n \in \mathbb{N}\}\) y \({^mb} \prec y\), existe cierto \(k \in \mathbb{N}\) tal que \({^mb} \prec {^kd} \preceq y\). Además, como \(x = {^Ma} \in \mathcal{Q}\), utilizando que este último conjunto es un grupo ordenado obtenemos que⁴Por «\(\ominus\)» nos referimos a la resta en \(\mathcal{Q}\), es decir, dados \(x, y \in \mathcal{Q}\), \(x \ominus y := x \oplus (-y)\), donde \(-y\) es el opuesto de \(y\) tal y como se describe en la Proposición 12.1.

  \(x \oplus ({^mb} \ominus {^kd}) \prec x,\)

  luego como \(x = \sup\,\{{^nc}: n \in \mathbb{N}\}\), existe cierto \(p \in \mathbb{N}\) tal que

  \(x \oplus ({^mb} \ominus {^kd}) \prec {^pc} \preceq x.\)

  Finalmente, tomando \(t \geq \max\,\{k, p\}\) tenemos que

  \(\begin{align*} {^ma} \oplus {^mb} & \preceq x \oplus {^mb} = x \oplus ({^mb} \ominus {^kd}) \oplus {^kd} \prec {^pc} \oplus {^kd} \preceq {^tc} \oplus {^td} \\ & \preceq \sup\,\{{^nc} \oplus {^nd}: n \in \mathbb{N}\}, \end{align*}\)

  lo que prueba (5).
• Existe cierto \(N \in \mathbb{N}\) tal que \({^Nb} = y\) y \({^na} \prec x\) para cada \(n \in \mathbb{N}\).

  Se demuestra de forma completamente análoga al caso anterior.

• \({^na} \prec x\) y \({^nb} \prec y\) para cada \(n \in \mathbb{N}\).

  Dado \(m \in \mathbb{N}\), existen \(k, p \in \mathbb{N}\) tales que \({^ma} \prec {^pc} \preceq x\) y \({^mb} \prec {^kd} \preceq y\), luego tomando \(t \geq \max\,\{k, p\}\) se tiene que

  \({^ma} \oplus {^mb} \prec {^pc} \oplus {^kd} \preceq {^tc} \oplus {^td} \preceq \sup,{{^nc} \oplus {^nd}: n \in \mathbb{N}},\)

  lo que prueba (5).

Exactamente los mismos argumentos sirven para demostrar la desigualdad contraria a (6), y esto prueba la igualdad buscada. \(\blacksquare\)

Distingamos dos casos en función de si \(x\) es un decimal exacto o no.

Si \(x\) es exacto, entonces \(x \in \mathcal{Q}\) y podemos definir \(q = j^{-1}(x)\). Además, por la densidad de \(\mathcal{Q}\) en \(\mathbb{R}\) existe cierto \(d \in \mathcal{Q}\) tal que \(\bigcirc \prec d \prec c\), y podemos definir \(\varepsilon = j^{-1}(d) > 0\). Tomando entonces \(N \in \mathbb{N}\) tal que \(\frac{2}{N} < \varepsilon\) y definiendo

\(\begin{align*}
r & = q – \dfrac{1}{N}, \\
s & = q + \dfrac{1}{N},
\end{align*}\)

se tiene que \(r < q < s\) y \(s – r = \frac{2}{N} < \varepsilon\). Basta entonces tomar \(a := j(r)\) y \(b := j(s)\) y es claro que \(a \prec x \prec b\) y

\(\begin{align*}
b \ominus a & = b \oplus j\left( -j^{-1}(a)\right) = b \oplus j(-r) = j \left( j^{-1}(b) + j^{-1}(j(-r)) \right) = j (s – r) \\
& \prec j(\varepsilon) = d \prec c.
\end{align*}\)

Supongamos ahora que \(x\) no es un decimal exacto.

Como \(c \succ \bigcirc\) tenemos que \(c_n \geq 0\) para cada \(n \in \mathbb{N}\) y que existe un \(M \in \mathbb{N}\) tal que \(c_M > 0\). Además, como \(x\) no es máximo, existe un \(N > M\) tal que \(x_N < 9\).

Definamos entonces \(p \in \mathcal{Q}\) tal que \(p_n = 0\) si \(n \not = N\) y \(p_N = 1\), \(a := {^Nx}\) y \(b := {^Nx} \oplus p\), que será un decimal exacto cumpliendo que \(b_n = x_n\) si \(n < N\), \(b_N = x_N + 1\) y \(b_n = 0\) si \(n > N\) (¿por qué?). Usando el Lema 12.2 y que \(x\) no es exacto obtenemos que \(a \prec x \prec b\) y que \(b \ominus a = p \prec c\) (pues \(c_n \geq 0\) para cada \(n \in \mathbb{N}\) y \(p_M = 0 < c_M\)), tal y como queríamos demostrar. \(\blacksquare\)

Ya vimos en el Teorema 11.7 que \(\mathbb{R}\) es un conjunto ordenado Dedekind-completo, con lo que únicamente debemos ver que es un grupo ordenado con la suma que hemos definido.

Comencemos demostrando la asociatividad, es decir, que dados \(x, y, z \in \mathbb{R}\) se cumple que

\(\begin{align*}
x \oplus (y \oplus z) = (x \oplus y) \oplus z.
\end{align*}\)

Como \(\mathcal{Q}\) es un grupo ordenado, tenemos que la sucesión \(\{{^nx} \oplus {^ny}\}\) es creciente y, por definición,

\(x \oplus y = \sup\,\{{^nx} \oplus {^ny}: n \in \mathbb{N}\}.\)

Usando entonces el Lema 12.4 obtenemos que

\(\begin{align}
(x \oplus y) \oplus z = \sup\,\{({^nx} \oplus {^ny}) \oplus {^nz}\}. \qquad (7)\end{align}\)

Análogamente, la sucesión \(\{{^ny} \oplus {^nz}\}\) es creciente e

\(y \oplus z = \sup\,\{{^ny} \oplus {^nz}: n \in \mathbb{N}\},\)

con lo que el Lema 12.4 nos da nuevamente que

\(\begin{align}
x \oplus (y \oplus z) = \sup\,\{{^nx} \oplus ({^ny} \oplus {^nz})\}. \qquad (8)\end{align}\)

Finalmente, de la asociatividad de la suma en \(\mathcal{Q}\) se tiene que

\(\begin{align*}
x \oplus (y \oplus z) \underset{\text{(8)}}{=} \sup\,\{{^nx} \oplus ({^ny} \oplus {^nz})\} = \sup\,\{({^nx} \oplus {^ny}) \oplus {^nz}\} \underset{\text{(7)}}{=} (x \oplus y) \oplus z,
\end{align*}\)

tal y como queríamos ver.

Veamos ahora la conmutatividad, es decir, que dados \(x, y \in \mathbb{R}\) se cumple que

\(x \oplus y = y \oplus x.\)

Esto es inmediato a partir de la conmutatividad de la suma en \(\mathcal{Q}\), pues esta implica que \({^nx} \oplus {^ny} = {^ny} \oplus {^nx}\) para cada \(n \in \mathbb{N}\) y así

\(x \oplus y = \sup\,\{{^nx} \oplus {^ny}\} = \sup\,\{{^ny} \oplus {^nx}\} = y \oplus x.\)

Para demostrar ahora que \(\bigcirc\) es el elemento neutro, basta con observar que \({^n\bigcirc} = \bigcirc\) para cada \(n \in \mathbb{N}\) y recordar que \(\bigcirc\) es el elemento neutro de la suma en \(\mathcal{Q}\) (ver la Proposición 12.1), pues con esto tenemos que para cualquier \(x \in \mathbb{R}\)

\(x \oplus \bigcirc = \sup\,\{{^nx} \oplus {^n\bigcirc}\} = \sup\,\{{^nx} \oplus \bigcirc\} = \sup\,\{{^nx}\} = x.\)

Veamos ahora que todo número real tiene un opuesto para la suma, es decir, que dado \(x \in \mathbb{R}\) existe cierto \(y \in \mathbb{R}\) tal que \(x \oplus y = \bigcirc\). En particular, veamos que esto se cumple al tomar

\(y := \inf\,\{-{^nx}: n \in \mathbb{N}\}\)

donde \(-{^nx}\) es el elemento opuesto de \({^nx}\) visto como elemento del grupo ordenado \(\mathcal{Q}\).

En primer lugar, observemos que como la sucesión \(\{{^nx}\}\) es creciente, el hecho de que \(\mathcal{Q}\) sea un grupo ordenado implica que la sucesión \(\{-{^nx}\}\) es decreciente. Además, es fácil ver que está acotada inferiormente (¿por qué?), con lo que al ser \(\mathbb{R}\) Dedekind-completo podemos asegurar que \(y\) está bien definido.

Ahora, observemos que \({^ny} \preceq y \preceq -{^nx}\) para cada \(n \in \mathbb{N}\), luego

\({^nx} \oplus {^ny} \preceq {^nx} \oplus (-{^nx}) = \bigcirc.\)

Como esto es cierto para todo número natural \(n\) concluimos que \(\bigcirc\) es cota superior del conjunto \(\{{^nx} \oplus {^ny}: n \in \mathbb{N}\}\), y únicamente nos queda ver que es la menor de las cotas superiores para garantizar que \(x \oplus y = \bigcirc\).

Para ver esto, debemos probar que si \(z \in \mathbb{R}\) es tal que \(z \prec \bigcirc\), entonces no es cota superior de \(\{{^nx} \oplus {^ny}: n \in \mathbb{N}\}\). Por la densidad de \(\mathcal{Q}\) en \(\mathbb{R}\) (Teorema 11.4) existe un \(c \in \mathcal{Q}\) tal que \(z \prec c \prec \bigcirc\) y por el Lema 12.5 existen \(a, b \in \mathcal{Q}\) tales que \(a \prec y \prec b\) y \(b \ominus a \prec -c\) (siendo \(-c\) el opuesto de \(c\) en \(\mathcal{Q}\)). Estas desigualdades junto a la definición de \(y\) implican que existen \(n, m \in \mathbb{N}\) tales que

\(\begin{align*}
& y \preceq -{^nx} \prec b, \\
& a \prec {^my} \preceq y,
\end{align*}\)

luego tomando \(k = \max\,\{n,m\}\) y recordando que \(\mathcal{Q}\) es un grupo ordenado

\({^kx} \oplus {^ky} \succeq {^nx} \oplus {^my} \succ -b \oplus a \succ c \succ z,\)

lo que demuestra que, efectivamente, \(z\) no es cota superior de \(\{{^nx} \oplus {^ny}: n \in \mathbb{N}\}\).

Por último, debemos ver que la suma que hemos definido respeta el orden, es decir, que dados \(x, y, z \in \mathbb{R}\) tales que \(x \prec y\), se cumple que \(x \oplus z \prec y \oplus z\).

Para ello observemos que como \(x \prec y = \sup\,\{{^ny}\}\), debe existir cierto \(N \in \mathbb{N}\) tal que \(x \prec {^Ny}\), luego tenemos que

\({^nx} \preceq x \prec {^Ny}\)

para cada \(n \in \mathbb{N}\). Usando que \(\mathcal{Q}\) es un grupo ordenado obtenemos que si \(n \leq N\), entonces

\({^nx} \oplus {^nz} \preceq {^Nx} \oplus {^Nz} \prec {^Ny} \oplus {^Nz} \preceq y \oplus z,\)

mientras que si \(n > N\), entonces

\({^nx} \oplus {^nz} \prec {^Ny} \oplus {^nz} \preceq {^ny} \oplus {^nz} \preceq y \oplus z.\)

En cualquier caso obtenemos que

\({^nx} \oplus {^nz} \prec y \oplus z\)

para cada \(n \in \mathbb{N}\) y esto implica que

\(x \oplus z = \sup\,\{{^nx} \oplus {^nz}: n \in \mathbb{N}\} \preceq y \oplus z.\)

Finalmente, observemos que la desigualdad debe ser estricta, pues si fuera \(x \oplus z = y \oplus z\), entonces denotando por \(w\) el opuesto de \(z\) se tiene que

\(x = (x \oplus z) \oplus w = (y \oplus z) \oplus w = y,\)

pero hemos partido del supuesto de que \(x \prec y\). \(\blacksquare\)