Han pasado ya más de dos meses desde la última entrada y la vida no me ha dejado escribir todo lo que me habría gustado. He estado bastante liado y, de hecho, durante los tres próximos meses ni siquiera estaré en España.
Sin embargo, no quiero dejar que triunfe la barbarie, con lo que os dejo con un pequeño aperitivo (con un toque más personal) hasta que ésta llegue la siguiente entrada «real».
Si tu profesión tiene algo que ver con las matemáticas, aunque sea remotamente, seguro que alguna vez en tu vida has escuchado la frase:
A mi las matemáticas se me daban fatal.
Más aún, si eres profesor, estoy seguro que cada año escuchas:
Pero profe, ¿y esto para qué sirve?
Pues bien, esta entrada es para todo aquel que alguna vez se haya hecho esta pregunta, para los «profes» que busquen más argumentos para su arsenal, o bien para todo aquel que quiera conocer mi humilde opinión sobre el tema (y tal vez decirme lo equivocado que estoy en los comentarios).
ADVERTENCIA: Esta entrada es principalmente de opinión (aunque he intentado que no sea solo la mía) y en parte de ella expreso mis impresiones y experiencias, por lo que si no estás de acuerdo y sientes la necesidad de decírmelo no tengo ningún problema, pero que sea de forma educada, por favor.
AÑADIDO (01/03/26): En el foro Rincón Matemático se ha creado un hilo sobre esta entrada, en el cual se han planteado algunas réplicas, matices y comentarios muy interesantes sobre algunos de los argumentos que doy. Os invito a que los leáis y participéis si queréis.
1. ¿Para qué sirve una raqueta?
Si a alguien le preguntan para qué sirve una raqueta, probablemente responda, después de una mirada de extrañeza, que sirve para jugar al tenis, al pádel o a algún deporte similar. Pero, ¿creéis que alguien que hace este tipo de pregunta sabrá lo que es el tenis? Si me apuráis, podría incluso no saber qué es el deporte, con lo cual, antes de explicarle para qué sirve una raqueta deberíamos explicarle qué es el tenis o, en general, qué es el deporte.
Pues bien, salvando las distancias, creo que con las matemáticas pasa lo mismo. Los alumnos (y muchos adultos) preguntan por la utilidad de las matemáticas sin saber realmente qué son. Pero, ¿cómo puede ser así si a todos nos obligan a estudiar matemáticas desde los seis años? ¿Cómo no vamos a saber lo que son?
Volvamos a la analogía del deporte. Si existiera una asignatura que se llamara «deporte», que fuera común a toda la educación obligatoria y en la que cada día se les obligara a los alumnos a hacer \(10\) flexiones, \(10\) dominadas y como deberes para casa \(10\) sentadillas, ¿creéis que sabrían lo que es el deporte? Creo que todos coincidiremos en que no, no lo sabrían. Sin embargo, cualquiera que haya pasado por ello pensará que sí, que el deporte es hacer flexiones, abdominales y sentadillas. Más aún, salvo a aquellos a los que de forma natural les guste ejercitar su cuerpo, la mayoría saldría del instituto diciendo que odia el deporte.
Aunque parezca osado, creo que esto es exactamente lo que ocurre con las matemáticas. Hacemos creer a la mayoría de la sociedad que las matemáticas del instituto son LAS MATEMÁTICAS, cuando la realidad es que son las flexiones, abdominales y sentadillas del deporte (en mi opinión, incluso menos que eso), con lo cual se crea una imagen completamente distorsionada sobre esta disciplina que naturalmente lleva a la pregunta que titula esta entrada. Así pues, creo que antes de discutir la utilidad de las matemáticas debemos aclarar qué son.
2. ¿Qué son las matemáticas?
Creo que cualquier deportista, incluso aunque no sea profesional, es capaz de definir qué es el deporte. Al menos, no me parece descabellado pensar que sería capaz de darnos una descripción lo suficientemente buena para que cualquiera, practique o no deporte, se haga una idea bastante certera sobre qué es (¿incluiría su descripción al ajedrez?). Sin embargo, no creo que ni los mejores matemáticos sean capaces de dar una descripción de qué son las matemáticas y que alguien que nunca las ha practicado pueda realmente llegar a comprenderlo. Por tanto, como yo soy de los peores matemáticos, no esperéis terminar esta entrada y saber qué son las matemáticas si no lo sabíais de antemano. Ahora bien, como es una pregunta que muchos otros han intentado responder con anterioridad, puedo daros distintas definiciones y referencias de gente mucho más inteligente que tal vez os ayuden a obtener vuestra propia definición.
Luis Recalde comienza su libro Lecturas de historia de las matemáticas definiendo las matemáticas como la actividad de medir, contar y ordenar. Para mi esta definición tiene algo muy curioso, porque cualquier matemático la encontrará bella, simple y precisa, pero también podría encontrarla adecuada alguien que solo haya conocido las matemáticas escolares. Esto ocurre porque detrás de esas tres palabras se esconde un mundo entero que los matemáticos conocemos y que va mucho más allá de lo que habitualmente se entiende al leerlas, aunque también incluye sus significados cotidianos que son los que más se trabajan en la escuela. Veamos algunos ejemplos:
- Un matemático podría llamar medir, tanto a calcular el área de un estadio de fútbol o la longitud de cierta curva, como a estudiar si hay más números naturales que números pares o determinar la dimensión de Hausdorff del triángulo de Sierpiński.
- Un matemático podría llamar contar, tanto a calcular cuál es el mínimo número de personas que tiene que haber en una fiesta para que al menos tres de ellas sean todas conocidas o todas desconocidas, como a estudiar el número de agujeros que tiene una cierta superficie o determinar cuántos números primos hay menores a otro número dado.
- Un matemático podría llamar ordenar, tanto a calcular la manera más eficiente de «hacer cola», como a estudiar algoritmos que permitan ordenar listas de números o dar una clasificación completa de los grupos finitos simples.
Como se puede observar, algunos de los ejemplos anteriores se corresponden con el uso habitual de estas tres palabras, pero para otros solo tienen sentido si uno sabe de lo que habla. Por tanto, a no ser que seáis matemáticos o queráis leer el libro de Luis (lo cual os recomiendo), tratemos de complementar esta definición.
Si tuviera que apostar, diría que la definición más extendida entre los matemáticos es que las matemáticas son la disciplina que estudia los patrones formales1 o, como dice el gran Eduardo Sáenz de Cabezón, el arte de encontrar patrones. Ciertamente, si uno piensa en todos los ejemplos anteriores puede encontrar la idea de búsqueda o estudio de patrones. De hecho, en casi cualquier fenómeno pueden encontrarse patrones y por eso las matemáticas permiten estudiar cosas tan variadas como números, formas geométricas, procesos biológicos, el movimiento de cuerpos celestes o los sistemas electorales. Ahora bien, aunque me parece una definición bastante acertada, de nuevo creo que puede ser algo ambigua para quien no tenga ya una idea de qué son las matemáticas.
Tratando de extenderla podríamos seguir a R. W. Hamming en su artículo The unreasonable effectiveness of mathematics y decir que las matemáticas son la disciplina que se encarga de abstraer, generalizar y extender conceptos conocidos a nuevas situaciones. Por ejemplo, partiendo de los números naturales, los de contar de toda la vida, los matemáticos han podido abstraerlos y estudiar sus propiedades independientemente de que cuenten manzanas o limones, y han creado una gran cantidad de «números nuevos» para resolver todo tipo de problemas: los racionales para contar partes de una unidad, los enteros para tratar con deudas, los reales para rellenar los «huecos» que dejan los racionales, los complejos para resolver cualquier ecuación polinómica, etc. Buscando otro ejemplo cotidiano, todos tenemos una ligera idea de qué es el azar, aunque pocos podríamos definirlo. Sin embargo, el poder de abstracción y generalización de las matemáticas nos permite tratar con él, entenderlo y estudiarlo. Entroncando con la utilidad de las mismas, podemos incluso utilizarlo para estudiar desde fenómenos naturales hasta el comportamiento humano, pues hasta dentro del azar existen patrones que podemos explotar para obtener información fiable de ellos. Las matemáticas nos permiten extender un concepto básico y familiar como el de número o el de azar a diversas situaciones que van mucho más allá de su origen.
Ligado a este último ejemplo, hay quien define las matemáticas como el lenguaje de la ciencia. La ciencia moderna necesita tratar con datos empíricos para hacer predicciones con ellos y las matemáticas ofrecen el marco ideal para esto. Más aún, al igual que nuestro lenguaje nos permite hablar y discutir sobre ciertas situaciones y sus posibles consecuencias sin necesidad de que éstas se den realmente, las matemáticas entendidas como un lenguaje también nos permiten «hablar» sobre ciertos fenómenos reales en un contexto simplificado, pero controlable, que nos ayuda a entenderlos mejor.
En el polo opuesto a la definición anterior, podemos encontrar la de Eugene P. Wigner en su artículo The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. Desde mi punto de vista, él entiende las matemáticas como un arte, como una búsqueda de cierto tipo de belleza. Aunque admite que las matemáticas elementales se formulan para describir conceptos del mundo real, argumenta que las más avanzadas sirven para que el matemático demuestre su ingenio y sentido de la belleza formal, con lo que podríamos decir que, desde su punto de vista, las matemáticas son una disciplina con sus propios conceptos y reglas inventadas con el fin de jugar con ellos y descubrir relaciones armoniosas entre estos conceptos.
Finalmente, me gustaría concluir con una última definición que, si bien no hace justicia ni a las matemáticas en toda su generalidad, ni mucho menos a su práctica2, creo que es muy importante destacarla si se busca explicar qué son las matemáticas. Si un ordenador pudiera hablar (y no intentara hacerse pasar por humano como hacen las famosas IAs), probablemente diría que las matemáticas son la ciencia del razonamiento formal abstracto3. ¿Por qué creo que diría esto? Pues porque un concepto fundamental en matemáticas, el cual se ha omitido en todas las definiciones anteriores, es el de demostración. No voy a entrar aquí en el debate de qué es una demostración, qué tan formales deban ser o qué es el rigor matemático, pero sí que creo importante destacar que desde la Antigua Grecia las matemáticas se han distinguido del resto de disciplinas humanas en que sus afirmaciones no se fundamentan en observaciones o experimentos, sino en demostraciones, en razonamientos precisos que explican y muestran por qué una determinada afirmación es verdadera. Por tanto, aunque todas las definiciones anteriores muestran importantes aspectos de las matemáticas, para mi gusto dejan de lado lo que las distingue de otras disciplinas como pueden ser la física o la filosofía4, para las que también podrían encajar algunas de las definiciones previas.
Os pongo un ejemplo. De la famosa mecánica cuántica se dice que es la teoría científica más exitosa de la historia respecto a sus predicciones, pero sabemos que no está completa. Sabemos que falla en ciertas situaciones y eso intentan estudiar miles de físicos en todo el mundo. Sin embargo, el famoso teorema de Pitágoras, aunque tiene miles de años de antigüedad, nunca va a fallar, porque está demostrado. Existe un razonamiento (realmente existen cientos de razonamientos distintos) que nos muestra que siempre que tengamos un triángulo rectángulo en el plano se cumplirá la famosa frase rimbombante que a todos nos hicieron aprender en la escuela.
Quiero enfatizar esto: un teorema matemático nunca será falso, pase lo que pase, porque está respaldado por una demostración matemática.
Con todas estas definiciones espero que hayáis podido formaros una mejor idea de qué son las matemáticas y, juntando todas ellas, creo que ahora casi todos podrías estar de acuerdo conmigo en que las matemáticas escolares son el equivalente a las flexiones, abdominales y sentadillas del deporte: son esenciales, pero no le hacen justicia ni sombra a lo que es el deporte.
3. ¿Para qué las matemáticas?
Algunas de las definiciones anteriores describen las matemáticas como un lenguaje o una herramienta, por lo que de ellas se desprende inmediatamente su aplicabilidad. Sin embargo, aunque ya he argumentado que para entender la utilidad de algo primero debemos saber qué es, creo que no basta únicamente con esto. Si volvemos a la analogía con el deporte, al explicarle a alguien en qué consiste el baloncesto, incluso mostrándole algunos partidos, creo que encontraríamos, a grandes rasgos, varias reacciones posibles:
- Podría mostrar un gran entusiasmo y estar deseoso de practicarlo.
- Podría simplemente encontrarlo divertido, pero no verle «demasiada miga».
- Podría no entender para nada por qué alguien querría hacer eso y preguntar: «¿y esto para qué sirve?».
Salvando las distancias, creo que cuando alguien entiende mejor qué son las matemáticas también puede caer en una de estas categorías, por lo que en esta sección trataré de responder a las preguntas de alguien que esté en el tercer punto y dar argumentos para que el mayor número posible de gente transite al primero, o al menos a uno intermedio de respeto y admiración por la disciplina.
Ahora bien, antes de empezar me gustaría aclarar que, a priori, considero que esta pregunta es una trampa. Es difícil encontrar a alguien que pueda hacer la misma pregunta sobre el cine, la pintura, la música y la literatura. No digo que no exista gente que pueda pensar que algunas de las disciplinas anteriores «no sirven pa’ na», sobre todo gente joven que se ve forzada a estudiarlas sin contexto alguno, pero sí veo extremadamente complicado que alguien lo diga de todas a la vez, porque a todos nos gusta alguna película, alguna canción, tal vez algún libro e incluso algún cuadro… Y ahí está la clave, los humanos hacemos cosas porque nos gustan, sin más. Somos curiosos, estamos deseosos de investigar lo que nos rodea, explorarlo de mil formas distintas, expresarnos a través de diferentes medios y compartir nuestros pensamientos y, aunque sorprenda a muchos, las matemáticas también sirven para esto. Para divertirnos, para retarnos a nosotros mismos y a otros con un problema difícil, para explorar relaciones que, aunque abstractas e «inútiles», algunos encontramos bellas. En este punto, espero que los artistas o escritores que puedan leer esto ya sienta respondida, al menos en parte, la pregunta que tenemos entre manos.
En resumen, para mí las matemáticas sirven principalmente para disfrutar. Algunos somos capaces de disfrutar con una ópera, un concierto de música clásica y otro de un grupo de punk, otros solamente disfrutamos de algunos de estos, pero para cada persona del mundo siempre habrá algo en la música que le haga disfrutar. Soy un ferviente defensor de que con las matemáticas ocurre exactamente lo mismo: para cada persona del mundo siempre habrá algo en las matemáticas que le haga disfrutar.
En este punto, alguien que odie las matemáticas con todo su corazón (aunque si eres ese alguien y estás leyendo esto, me quito el sombrero) podría recriminarme que estoy siendo demasiado «hippie» o «bohemio». Que todo lo que digo está muy bien, pero ¿por qué razón tiene que enseñarse de forma obligatoria en los colegios e institutos? Que cada cual las tome como una asignatura optativa o incluso como un hobby. Peor aún, imaginaos lo que pensará si además sabe que en todo el mundo se paga a gente por hacer matemáticas las cuales, en su mayoría, «no sirven para nada». Respondamos a este hater con mucho amor.
Trataré de responder primero a la objeción sobre que se nos pague por hacer matemáticas (teniendo en cuenta que, por desgracia, si uno quiere comer en el mundo actual depende de un trabajo asalariado). En varias ocasiones he conversado de estos temas con gente que trabaja investigando en lógica matemática o teoría de conjuntos, dos de las ramas más abstractas y «poco aplicables» de las matemáticas, y casi siempre me han confesado (aunque con un deje de orgullo, he de decir) que lo que hacen es una «estafa». Yo mismo pienso lo mismo sobre mi trabajo actual, pero os dejaré dos comentarios de gente que considero mucho más inteligente que yo, los cuales me parece que describen perfectamente este sentimiento.
El primero de ellos me lo hizo el primo de un buen amigo, quien afirmó que la única arma que tenemos los matemáticos para conservar nuestro trabajo es que lo que hacemos es tan difícil que nadie lo entiende. Si algún día se destapa el pastel y alguien se da cuenta de que lo que hacemos no sirve para nada, nos vamos todos a la cola del paro. El segundo comentario me lo hizo un chico brillante que conocí en un congreso y sigue la misma línea. Afirmaba que lo que hacemos es un gran castillo de naipes que hemos ido construyendo sin que nadie se entere, y que el día menos pensado, cuando alguien se de cuenta de que nuestra investigación no sirve para nada, tirarán una de las cartas de la base y todos nos quedaremos sin trabajo.
Parte de mi ser está completamente de acuerdo con esto si uno entiende la frase «no servir para nada» en un sentido plenamente utilitarista, pero ya he sido lo suficiente pesado antes como para que quede claro que, para mi, establecer el valor de algo basándose únicamente en este tipo de «utilidad práctica» me parece una mierda como un caballo de grande, siendo claro. Además, en ambas ocasiones les respondí de igual modo. Si lo nuestro es una «estafa», entonces que es el maquillaje, la publicidad, el cine, el fútbol, el arte, la prensa rosa o cientos de actividades humanas igual de «inútiles» (bueno, algunas de ellas más que otras), pero en las que gastamos una cantidad de dinero infinitamente mayor. Por poneros un ejemplo, cada año la humanidad gasta más en maquillaje que en exploración espacial, y os aseguro que con lo que cuesta hacer despegar un solo cohete podríamos pagar las investigaciones de varios matemáticos durante años, pues pensad que solo necesitamos nuestras cabezas y ordenadores (bueno, la mayoría también necesita mucho café) para trabajar. Así pues, incluso si las matemáticas son un castillo de naipes, son un castillo tan pequeño e inofensivo que, sinceramente, no veo por qué nadie debería molestarse por ello.
Moraleja: no dejéis de pagar vuestros impuestos para que puedan pagarme mi sueldo :)
Pasando ahora a una visión más pragmática, aunque es cierto que, individualmente, la gran mayoría de los matemáticos profesionales (en el sentido de que les pagan por investigar en matemáticas, no hablo aquí de profesores o matemáticos que trabajan en empresas) hacen matemáticas por puro placer, por responder a preguntas que les parecen interesantes sin pensar en sus «aplicaciones al mundo real», lo cierto es que las matemáticas devuelven tanto a la sociedad que el beneficio neto es, con creces, muy superior al gasto. Este punto lo defiende de manera magistral Timothy Gowers en su charla The importance of mathematics (también podéis encontrarla por escrito aquí, aunque no incluye las imágenes) y poco o nada tengo yo que aportar al respecto, con lo que simplemente resumiré algunos de sus argumentos principales, pero os recomiendo encarecidamente que la veáis.
Gowers plantea que, como he comentado antes, las matemáticas son muy baratas de hacer y ocasionalmente producen resultados de gran relevancia para la sociedad, incluso en términos puramente económicos. Por poner un ejemplo actual5, las famosas IAs utilizan herramientas matemáticas muy potentes relacionadas con la optimización y la estadística. Ahora bien, si los beneficios provienen únicamente de algunos resultados esporádicos, el político de turno podría pensar en recortar los presupuestos destinados a la investigación matemática y destinarlos únicamente a las ramas «útiles». Gowers da dos potentes argumentos por los que esto es una falacia.
En primer lugar, es imposible identificar que área de las matemáticas resultará útil en el futuro. Por ejemplo, G. H. Hardy se mofaba de que la rama en la que trabajaba, la teoría de números, no tenía ninguna aplicación y tampoco la tendría en el futuro6. Sin embargo, uno de los sistemas de encriptación más usados, el sistema RSA, se basa precisamente en resultados de la teoría de números relacionados con los números primos. Es decir, lo que hace que las comunicaciones a través de Internet sean seguras es, en gran medida, matemáticas que hasta hace bien poco se consideraban bellas, pero inútiles. Otros ejemplos incluyen a las geometrías no euclídeas, desarrolladas para responder a cuestiones puramente teóricas sobre la naturaleza del axioma de las paralelas, pero que resultan claves en la teoría general de la relatividad de Einstein, sin la cual el sistema GPS no sería posible; o la teoría de nudos, que estudia algo tan «inútil» como determinar si una cuerda entrelazada consigo misma puede desenredarse, sin cortarla, hasta convertirla en un simple círculo sin ningún nudo por en medio, pero que ha resultado ser importante en el estudio de cómo ciertas proteínas se enrollan consigo mismas y los efectos que esto tiene en sus propiedades.
En segundo lugar, las matemáticas están profundamente interconectadas. En la cabeza de la mayoría de gente las matemáticas están muy bien particionadas, pues así lo aprendió en el colegio. A veces hacía álgebra, a veces aritmética, otras geometría y parecían bloques completamente distintos del temario, pero incluso en estos niveles uno se da cuenta de que la realidad no es así. Para trabajar con polinomios se necesita de la aritmética, muchas figuras geométricas se describen mediante polinomios y en muchos problemas de cálculo de áreas necesitamos resolver ecuaciones. Si ya en la escuela ocurre esto, creo que no será sorprendente si os digo que es muy común que un resultado en cierta rama de las matemáticas utilice herramientas de otra para su demostración, o que grandes avances en un algunas áreas surgen al amparo de avances en otras que, a priori, parecían completamente distintas. De hecho, los resultados más bellos y profundos de las matemáticas suelen ir ligados a este fenómeno7. Por tanto, si uno intenta purgar a las matemáticas de sus partes «inútiles», inevitablemente estará dañando de forma grave a las más «útiles».
Creo que lo dicho pone de manifiesto que todas las ramas de las matemáticas son importantes, pero si nuestro hater aún no ha quedado convencido, tengo más material para él. Si uno es una persona razonable, admitirá que la ciencia sí supone un gran avance para la humanidad (incluso con sus grandes sombras). Al menos, admitirá que algunas ciencias, como puede ser la biología, en particular la medicina, o la física, al menos algunas de sus ramas, son un maravilloso regalo. También espero que admita que muchos avances tecnológicos han supuesto un gran avance. Pues bien, si uno recuerda una de las posibles definiciones de la sección anterior, aquella que decía que las matemáticas son el lenguaje de la ciencia, verá que no puede admitir la importancia de las disciplinas anteriores sin hacerlo con las matemáticas. Cualquier disciplina científica o técnica necesita tratar con datos de diverso tipo, analizarlos, procesarlos y obtener información a partir de ellos, y existen varias ramas de las matemáticas8 dedicadas a estudiar cómo hacer esto de la mejor forma posible. Además, la potencia de la ciencia consiste en su posibilidad de hacer predicciones sobre fenómenos que aún no han ocurrido y para ello uno necesita hacer modelos de dichos fenómenos. Pensad lo caro que sería repetir cientos de veces un experimento «a lo loco», por ejemplo, el desarrollo de un nuevo fármaco, sin tener previamente una idea de por dónde «irán los tiros». Nuevamente, las matemáticas son lo suficiente versátiles como para permitir crear estos modelos y estudiarlos utilizando únicamente nuestro intelecto y nuestras modernas cabezas mecánicas.
Si uno junta el argumento sobre la utilidad de las matemáticas en la ciencia con el de Gowers sobre la interdependencia en matemáticas, tenemos una base muy sólida para afirmar que, a parte de poder ser una actividad muy gratificante para mucha gente, las matemáticas también son extremadamente importantes para la humanidad. Con esto espero haber respondido a nuestro amigo el hater, al menos respecto a la parte económica que, por desgracia, es la que más suele molestar a la gente. Es necesario investigar en matemáticas porque aportan un beneficio a la sociedad más allá de lo que somos capaces de comprender.
Aún nos queda una pregunta de nuestro amigo por responder:
¿Por qué las matemáticas deben ser obligatorias en escuelas e institutos? ¿Por qué no dejar que cada cual elija estudiarlas si quiere dedicarse a ellas o a alguna disciplina que las necesite?
Pues bien, la respuesta que tengo para esto es la misma que creo que se daría para defender la obligatoriedad de la literatura, la historia, la filosofía, el arte o la música (aunque por desgracia las artes siguen sin tener la importancia que se merecen en las escuelas). Llevamos haciendo matemáticas desde hace más de 3000 años, forman parte de nuestra cultura y es importante conocerla para aprender de ella. Hay quien piensa que, al igual que las matemáticas, las disciplinas que he mencionado tampoco sirven para nada, porque nunca va a citar una frase del Quijote en su día a día, ni saber por qué ocurrió tal o cual hecho histórico y sus consecuencias le ayudará a pagar el alquiler. Pero creo que está profundamente equivocado. Aprender de nuestra cultura, en cualquiera de sus expresiones, nos permite entendernos a nosotros mismos, tanto individual como socialmente, nos permite aprender de nuestros errores y conocer nuestros triunfos, nos permite saber que pensó y como habitó el mundo gente de distintas culturas y regiones. ¿Cómo no va a ser eso útil para la vida diaria? Si hasta un pequeño consejo que pueda darte tu vecino sobre cualquier tontería puede serte útil, ¿cómo no va a serlo el conocimiento acumulado de toda la humanidad? En ocasiones tenemos una visión muy sesgada de qué es «útil», de qué es «productivo». Si la recompensa no es inmediata, si no soy capaz de ver el fin de forma clara desde el principio, entonces no merece la pena. El proceso no merece la pena, si el fin no es lo suficientemente importante, cuando la realidad es que en la mayoría de casos es el proceso lo que más nos aporta. En cualquier sociedad sana, el conocimiento, de cualquier tipo, debería ser perseguido porque sí, sin necesidad de justificaciones, porque nuestra cultura es lo más valioso que tenemos y lo único que perdura en el tiempo. Pero, incluso si uno se pone individualista, saber matemáticas, al igual que saber sobre literatura o arte, te hace vivir una vida más plena. Te permite disfrutar de más cosas en la vida, de no quedarte en solo un pequeño rincón de todo lo que puede ofrecerte el mundo, e incluso de ser capaz de apreciar la belleza y utilidad de las cosas desde prismas muy distintos y complementarios. En esta línea os recomiendo a todos el maravilloso, insisto, MARAVILLOSO libro Mathematics for human flourishing de Francis Su (existe una versión en español) donde el autor argumenta, de una forma bellísima, todo lo que las matemáticas pueden aportar a tu vida.
Si aún no he convencido a nuestro amigo el hater, poco más puedo hacer, pero sí quiero remarcar un último punto esencial sobre la enseñanza de las matemáticas. Aprender matemáticas, de las reales, de las que he intentado definir en la sección anterior, no solo los «abdominales, sentadillas y flexiones», ayuda a fomentar el pensamiento crítico, la capacidad de concentración y el coraje a la hora de afrontar nuevos problemas. Cuando uno aprende matemáticas tiene que lidiar con los innumerables errores que cometerá por el camino, tiene que aprender a razonar de forma correcta, intentar evitar las falacias y ser capaz de ver sus fallos cuando otros los mencionan, tiene que vencer la frustración de no ser capaz de resolver o entender un problema, así como admitir que no siempre tendrá las respuestas, tiene que saber comunicarse con otros y explicar de forma clara sus hallazgos, pero también aprender a pedir ayuda cuando se halla en un callejón sin salida, tiene que aprender a enfrentarse a nuevos problemas constantemente, tiene que ser paciente, porque es un camino largo y para nada inmediato, tiene que aprender a valorar el trabajo de otros, porque nunca podrá abarcarlo todo uno solo por muy inteligente que sea y, por encima de todo, tiene que aprender a pensar. Si esto no son virtudes que, hoy más que nunca, debemos fomentar en los jóvenes, paren el mundo que aquí me bajo.
4. El elefante en la habitación
Con esto concluye mi esfuerzo al tratar de explicar el «qué» y «para qué» de las matemáticas, pero me temo que, si he conseguido convencer a alguien de su belleza y utilidad, ahora pueda tener otra pregunta igual de importante: si las matemáticas son tan importantes y pueden aportarnos tantas cosas, ¿por qué en las escuelas solo se enseñan «flexiones, abdominales y sentadillas»? ¿Por qué no se enseñan de otra forma? ¿Por qué no se intenta inculcar la pasión por las mismas y mostrar todas sus facetas, belleza y beneficios?
Si tuviera una respuesta definitiva, creedme que no solo la escribiría aquí. Elección o barbarie sería un partido político (otro nuevo, que hay pocos) con un potente programa en lo referente a la educación. Pero, como no es así, podéis imaginar que no tengo las respuestas. Lo que sí que puedo deciros es que hay muchos profesores de matemáticas que se esfuerzan enormemente por intentar llevar todo lo que os he contado al aula, además de muchísimos investigadores en didáctica de las matemáticas que trabajan para entender y cuantificar qué funciona y qué no en la enseñanza de las matemáticas. Os dejo un par de ejemplos:
- Como ejemplo de profesor que trabaja en esta línea os dejo la web de Pedro Martínez, donde podéis encontrar una gran variedad de materiales didácticos que no tienen ningún desperdicio. He visto los proyectos que ha hecho con los niños y son espectaculares. En particular, os animo a que le echéis un vistazo a sus materiales para la asignatura de ámbito científico, con los que nunca volveréis a cuestionar que se enseñen las matemáticas y la biología en una misma asignatura.
- Respecto a la didáctica, me gusta mucho esta entrada en el blog de Keith Devlin, que resume muy bien el fantástico libro What’s math got to do with it? de Jo Boaler, el cual muestra los beneficios de una enseñanza distinta de las matemáticas.
Eso es todo por esta vez. Espero que os haya gustado esta entrada aunque sea algo diferente y, más aún, espero que pueda convencer a algún hater y aportar argumentos a algún defensor de las matemáticas o a algún profesor que se encuentre con esta pregunta en sus clases. En próximas entradas volveré con muchas más matemáticas, espero que para todos los gustos y niveles.
- Al hablar de «patrones formales» no me refiero a que sean más serios, sino a que no se trata del estudio de un patrón concreto como pueden ser los ciclos lunares o ciertos motivos en una pintura, sino a la abstracción de estos fenómenos particulares de modo que no importe el significado u origen del patrón, sino únicamente su forma y comportamiento. ↩︎
- Para entender por qué digo esto recomiendo este post de Terence Tao o el magnífico artículo de William P. Thurston On proof and progress in mathematics. ↩︎
- Sé que esta definición podría ser más adecuada para responder a qué es la lógica, pero a fin de cuentas la lógica y la matemática están íntimamente relacionadas y más desde mediados del siglo pasado, con lo que permitidme esta transgresión. ↩︎
- Aunque en filosofía también se utiliza el concepto de «demostración o prueba», no se emplea en el mismo sentido que en matemáticas. En las matemáticas modernas las demostraciones son argumentos descriptivos e irrefutables (cuando son correctos claro) sobre unos objetos abstractos (y, por tanto, libres de cualquier interpretación externa a la de su propia definición) bajo unas premisas precisas. Sin embargo, en filosofía los argumentos no son irrefutables, pues parten en muchas ocasiones de premisas dudosas, o incluso poco precisas, y trabajan con objetos mucho más complejos y, también en ocasiones, no descritos de forma precisa. ↩︎
- De éxito económico, porque su beneficio para la sociedad creo que es, como mínimo, discutible y, en mi opinión, no llevarán a nada bueno dentro del sistema capitalista. ↩︎
- También afirmaba que hacer matemáticas no hace daño a nadie, cosa que se puede decir de muy pocas actividades humanas. Por desgracia, viendo el mundo actual donde los algoritmos nos dominan y el análisis de datos se utiliza para saber hasta el más mínimo detalle sobre nosotros, en esto también se equivocó el gran Hardy. En su defensa, ¿quíen podría imaginarse hace 100 años un mundo como el actual? ↩︎
- Hay muchísimos ejemplos de este fenómeno y si le preguntáis a matemáticos que trabajan en distintas áreas os hablarán de sus resultados favoritos. Por poner algunos ejemplos famosos: el último Teorema de Fermat es un resultado de la teoría de números clásica, pero que utilizó herramientas algebraicas muy avanzadas en su demostración; la distribución de los números primos está íntimamente ligada con el análisis complejo; la famosa conjetura de geometrización de Thurston (que incluye a la famosísima conjetura de Poincaré) relaciona de forma profunda la topología y geometría de los espacios tridimensionales; la teoría de cuerpos puede utilizarse para responder a preguntas tan variadas como si existe una fórmula para obtener las soluciones de cualquier polinomio o si podemos hacer ciertas construcciones con regla y compás. Si queréis un ejemplo más desgranado, Gowers da uno precioso y muy significativo en su charla, con lo que de nuevo os animo a verla. ↩︎
- Solo para que os hagáis una idea, existen áreas de las matemáticas, que involucran a muchísimas ramas distintas, con nombres tan sugerentes como análisis de datos u optimización. ↩︎
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