Como ya hemos comentado, alguien podría preguntarse por qué no definimos las sucesiones de Cauchy de forma más simple como:
Sea \(G\) un grupo ordenado y \(\{x_n\}_{n=0}^\infty\) una sucesión de elementos de \(G\). Diremos que \(\{x_n\}_{n=0}^\infty\) es una «sucesión de Cauchy» si dado cualquier \(\varepsilon \in G\) con \(\varepsilon > 0\), existe un natural \(N \in \mathbb{N}\) de modo que si \(n \geq N\), entonces \(d(x_n, x_{n+1}) < \varepsilon\).
La razón es muy simple, pero requiere una explicación. Al definir las sucesiones de Cauchy lo que realmente buscamos es caracterizar las sucesiones convergentes sin necesidad de hablar de límites. Es decir, buscamos una forma alternativa de demostrar que una sucesión es convergente sin necesidad de conocer previamente su límite. Ya sabemos que esta equivalencia entre sucesiones de Cauchy y sucesiones convergentes no es siempre cierta, sino que precisamente nos sirve para caracterizar de forma alternativa los cuerpos ordenados Dedekind-completos, ¿pero que pasa con las «sucesiones de Cauchy» que acabamos de definir? Pues resulta que esta definición no es adecuada para caracterizar la convergencia, ni siquiera en cuerpos ordenados Dedekind-completos. Veámoslo con un ejemplo.
Consideremos la sucesión de números racionales \(\{x_n\}_{n=1}^\infty\) definida como
\(\displaystyle x_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.\)
Tenemos entonces que
\(x_{n+1} – x_n = \dfrac{1}{n+1},\)
con lo que cumplirá esta definición que hemos dado de «sucesión de Cauchy» (¿por qué?), pero resulta que esta sucesión no converge en ningún cuerpo ordenado \(R\), pues no es de Cauchy (recordad que el Lema 4.13 nos dice que en cualquier grupo ordenado, si una sucesión converge, entonces es de Cauchy). En efecto, observemos que
\(\displaystyle x_{2n} – x_n = \sum_{k= n+1}^{2n} \dfrac{1}{k} \geq \sum_{k= n+1}^{2n} \dfrac{1}{2n} = \dfrac{n}{2n} = \dfrac{1}{2},\)
luego tomando \(\varepsilon = \frac{1}{2} \in R\), no puede existir ningún \(N \in \mathbb{N}\) tal que si \(n, m \geq N\), entonces \(\left| x_n – x_m \right| < \varepsilon\) (pues basta tomar \(n = N\) y \(m = 2N\) y sabemos que \(\left| x_N – x_{2N} \right| \geq \varepsilon\)).
En definitiva, este ejemplo muestra de manera clara que esta definición alternativa para las sucesiones de Cauchy no es adecuada para nuestros objetivos, y por esta razón hemos necesitado «pedir un poco más» en su definición.