Ya sabemos, gracias a lo visto en la Sección 3, que todo número de la forma \(T^{x,y}\) es medible, con lo que resta por ver que si un tiempo \(T\) es medible, entonces también es de esta forma.
Supongamos, por reducción al absurdo1, que no es así, es decir, que existe un tiempo medible que no es de la forma \(T^{x,y}\). Esto quiere decir que debe existir al menos una medición exacta de modo que la diferencia entre su momento final y su momento inicial no es de la forma \(T^{x,y}\) y, por tanto, que el siguiente conjunto es no vacío:
Así pues, existe el mínimo de dicho conjunto, que podemos denotar por \(n_0\), y con ello existe también alguna medición exacta \(M\) en la cual se giran en total \(n_0\) veces ambos relojes, pero de modo que la diferencia entre su momento final y su momento inicial no es de la forma \(T^{x,y}\). Además, \(n_0 > 1\) porque en cualquier medición exacta en la que los relojes se giren una única vez el momento inicial debe ocurrir cuando se gira este único reloj y el final cuando acaba, luego la diferencia entre ambos únicamente puede ser \(x\) o \(y\), es decir, es de la forma \(T^{x,y}\).
Distingamos ahora varios casos en función de cuando ocurran el momento inicial y final de \(M\):
■ El momento final de \(M\) se da en el último giro de \(M\) o antes.
En este caso podemos considerar la medición \(M’\) en la que se realizan los mismos giros y en los mismos momentos que en \(M\), salvo el último, y cuyos momentos inicial y final son los mismos que en \(M\). Veamos que \(M’\) es una medición exacta:
- Como \(M\) es una medición exacta comienza con su momento cero y, por tanto, lo mismo ocurre con \(M’\).
- Los giros en \(M’\) se dan, o bien en el momento cero de \(M’\), o bien cuando se vacía algún reloj debido a un giro anterior de \(M’\) porque lo mismo ocurre en \(M\).
- Como \(n_0 > 1\), si el momento inicial de \(M\) se da en el momento cero de \(M\), también ocurre lo mismo con el de \(M’\). Por otra parte, si el momento inicial de \(M\) se da cuando algún reloj se vacía, como esto ocurre en el último giro de \(M\) o antes, tenemos que se dará cuando algún reloj se vacíe debido a algún giro previo a este último, luego debido a algún giro de \(M’\).
- El mismo razonamiento del punto anterior muestra que el momento final de \(M’\) se da cuando algún reloj se vacía debido a un giro previo de \(M’\).
Como además el número de giros en \(M’\) es \(n_0 -1\) y \(n_0\) es el mínimo de \(A\), tenemos que la diferencia entre su momento final e inicial es de la forma \(T^{x,y}\), pero sus momentos inicial y final son los mismos que los de \(M\), con lo que tenemos una contradicción.
■ El momento final de \(M\) se da después del último giro de \(M\) y el momento de inicial se da antes del último giro de \(M\).
Como el momento final de \(M\) se da después del último giro de \(M\), este solo puede darse cuando acabe el reloj que se ha girado por última vez o cuando acabe el otro reloj (si no se había vaciado antes del último giro de \(M\)). Veamos cada uno de estos casos por separado.
En el primer caso podemos considerar la medición \(M’\) en la que se realizan los mismos giros y en los mismos momentos que en \(M\), salvo el último, cuyo momento inicial es el mismo que el de \(M\) y cuyo momento final se da en el último giro de \(M\). Veamos que \(M’\) es una medición exacta:
- Como \(M\) es una medición exacta comienza con su momento cero y, por tanto, lo mismo ocurre con \(M’\).
- Los giros en \(M’\) se dan, o bien en el momento cero de \(M’\), o bien cuando se vacía algún reloj debido a un giro anterior de \(M’\) porque lo mismo ocurre en \(M\).
- Como \(n_0 > 1\), si el momento inicial de \(M\) se da en el momento cero de \(M\), también ocurre lo mismo con el de \(M’\). Por otra parte, si el momento inicial de \(M\) se da cuando algún reloj se vacía, como esto ocurre antes del último giro de \(M\), tenemos que se dará cuando algún reloj se vacíe debido a algún giro previo a este último, luego debido a algún giro de \(M’\).
- Como \(n_0 > 1\), el último giro de \(M\) se da cuando algún reloj se vacía debido a un giro previo de \(M\), luego a un giro de \(M’\).
Como además el número de giros en \(M’\) es \(n_0 -1\) y \(n_0\) es el mínimo de \(A\), tenemos que la diferencia entre su momento final e inicial es de la forma \(T^{x,y}\). Llamemos a este tiempo \(T’\). Por otra parte, la diferencia entre el momento final e inicial de \(M\) será la suma de \(T’\) más la diferencia entre el momento final de \(M\) y su último giro. Como dicho momento final se da cuando acaba el reloj que se había girado por última vez, tenemos que el tiempo que ha transcurrido entre este momento final y el último giro de \(M\) será \(x\) o \(y\), con lo que la diferencia entre el momento final e inicial de \(M\) será \(T’ + x\) o \(T’ + y\), y en cualquier caso es de la forma \(T^{x,y}\) (por el Lema 3.1) y tenemos una contradicción.
En el segundo caso podemos considerar la medición \(M’\) en la que se realizan los mismos giros y en los mismos momentos que en \(M\), salvo el último, y cuyos momento inicial y final son los mismos que en \(M\). Veamos que \(M’\) es una medición exacta:
- Como \(M\) es una medición exacta comienza con su momento cero y, por tanto, lo mismo ocurre con \(M’\).
- Los giros en \(M’\) se dan, o bien en el momento cero de \(M’\), o bien cuando se vacía algún reloj debido a un giro anterior de \(M’\) porque lo mismo ocurre en \(M\).
- Como \(n_0 > 1\), si el momento inicial de \(M\) se da en el momento cero de \(M\), también ocurre lo mismo con el de \(M’\). Por otra parte, si el momento inicial de \(M\) se da cuando algún reloj se vacía, como ocurre antes que el último giro de \(M\), será debido a un giro de \(M\) previo a este último, luego a un giro de \(M’\).
- Como el momento final de \(M\) ocurre cuando acaba el reloj que no se ha girado en el último giro de \(M\), es claro que se da cuando se vacía un reloj debido a un giro de \(M’\).
Como además el número de giros en \(M’\) es \(n_0 -1\) y \(n_0\) es el mínimo de \(A\), tenemos que la diferencia entre su momento final e inicial es de la forma \(T^{x,y}\), pero sus momentos inicial y final son los mismos que los de \(M\), con lo que tenemos una contradicción.
■ El momento final de \(M\) se da después del último giro de \(M\) y el momento de inicio se da en el último giro de \(M\) o después.
Como el momento final de \(M\) se da después del último giro de \(M\), este solo puede darse cuando acabe el reloj que se ha girado por última vez, llamémoslo \(R_1\), o cuando acabe el otro reloj (si no se había vaciado antes del último giro de \(M\)), llamémoslo \(R_2\). Por otra parte, el momento de inicio podría darse en alguno de estos dos momentos o en el último giro de \(M\). Como el momento inicial y final no pueden ser iguales tenemos solo cuatro casos posibles.
En el primer caso el momento inicial se da en el último giro de \(M\) y el final cuando acaba el reloj \(R_1\).
En este caso se tiene que la diferencia entre el momento final e inicial de \(M\) es \(x\) o \(y\), luego está en \(T^{x,y}\) y tenemos una contradicción.
En el segundo caso el momento inicial se da en el último giro de \(M\) y el final cuando acaba el reloj \(R_2\).
En este caso podemos considerar la medición \(M’\) en la que se realizan los mismos giros y en los mismos momentos que en \(M\), salvo el último, y cuyos momento inicial y final son los mismos que en \(M\). Veamos que \(M’\) es una medición exacta:
- Como \(M\) es una medición exacta comienza con su momento cero y, por tanto, lo mismo ocurre con \(M’\).
- Los giros en \(M’\) se dan, o bien en el momento cero de \(M’\), o bien cuando se vacía algún reloj debido a un giro anterior de \(M’\) porque lo mismo ocurre en \(M\).
- Como el momento inicial de \(M\) se da en el último giro de \(M\), tenemos que se dará cuando algún reloj se vacíe debido a algún giro previo a este último, luego debido a algún giro de \(M’\).
- Como el momento final de \(M\) ocurre cuando acaba el reloj \(R_2\), es decir, el que no se ha girado en el último giro de \(M\), es claro que se da cuando se vacía un reloj debido a un giro de \(M’\).
Como además el número de giros en \(M’\) es \(n_0 -1\) y \(n_0\) es el mínimo de \(A\), tenemos que la diferencia entre su momento final e inicial es de la forma \(T^{x,y}\), pero sus momentos inicial y final son los mismos que los de \(M\), con lo que tenemos una contradicción.
En el tercer caso el momento inicial se da cuando acaba el reloj \(R_1\) y el final cuando acaba el otro reloj.
En este caso podemos considerar la medición \(M’\) en la que se realizan los mismos giros y en los mismos momentos que en \(M\), salvo el último, cuyo momento inicial es el momento cero de \(M\) y cuyo momento final es el de \(M\). Veamos que \(M’\) es una medición exacta:
- Como \(M\) es una medición exacta comienza con su momento cero y, por tanto, lo mismo ocurre con \(M’\).
- Los giros en \(M’\) se dan, o bien en el momento cero de \(M’\), o bien cuando se vacía algún reloj debido a un giro anterior de \(M’\) porque lo mismo ocurre en \(M\).
- El momento inicial de \(M’\) se da en su momento cero.
- Como el momento final de \(M\) ocurre cuando acaba el reloj \(R_2\), es decir, el que no se ha girado en el último giro de \(M\), es claro que se da cuando se vacía un reloj debido a un giro de \(M’\).
Como además el número de giros en \(M’\) es \(n_0 -1\) y \(n_0\) es el mínimo de \(A\), tenemos que la diferencia entre su momento final e inicial, es decir, el tiempo transcurrido hasta el momento final de \(M\), es de la forma \(T^{x,y}\). Llamemos a este tiempo \(T’\).
Por otra parte, podemos considerar la medición \(M^{\prime\prime}\) en la que se realizan los mismos giros y en los mismos momentos que en \(M\), salvo el último, cuyo momento inicial es el momento cero de \(M\) y cuyo momento final es el último giro de \(M\). Veamos que \(M^{\prime\prime}\) es una medición exacta:
- Como \(M\) es una medición exacta comienza con su momento cero y, por tanto, lo mismo ocurre con \(M^{\prime\prime}\).
- Los giros en \(M^{\prime\prime}\) se dan, o bien en el momento cero de \(M^{\prime\prime}\), o bien cuando se vacía algún reloj debido a un giro anterior de \(M^{\prime\prime}\) porque lo mismo ocurre en \(M\).
- El momento inicial de \(M^{\prime\prime}\) se da en su momento cero.
- Como \(n_0 > 1\), el último giro de \(M\) se da cuando algún reloj se vacía debido a un giro anterior de \(M\), luego a un giro de \(M^{\prime\prime}\).
Como además el número de giros en \(M^{\prime\prime}\) es \(n_0 -1\) y \(n_0\) es el mínimo de \(A\), tenemos que la diferencia entre su momento final e inicial, es decir, el tiempo transcurrido hasta el último giro de \(M\), es de la forma \(T^{x,y}\). Llamemos a este tiempo \(T^{\prime\prime}\).
Finalmente, observemos que el tiempo transcurrido hasta el momento inicial de \(M\) será la suma de \(T^{\prime\prime}\) más \(x\) o \(y\), en función de cual sea el reloj \(R_1\), luego la diferencia entre el momento final e inicial de \(M\) será \(T’ – (T^{\prime\prime} + x)\) o \(T’ – (T^{\prime\prime} + y)\) y en cualquier caso es de la forma \(T^{x,y}\) (por el Lema 3.1), con lo que tenemos una contradicción.
En el cuarto caso el momento inicial se da cuando acaba el reloj \(R_2\) y el final cuando acaba el reloj \(R_1\).
En este caso podemos considerar la medición \(M’\) en la que se realizan los mismos giros y en los mismos momentos que en \(M\), salvo el último, cuyo momento inicial es el momento cero de \(M\) y cuyo momento final se da cuando acaba el reloj \(R_2\). Veamos que \(M’\) es una medición exacta:
- Como \(M\) es una medición exacta comienza con su momento cero y, por tanto, lo mismo ocurre con \(M’\).
- Los giros en \(M’\) se dan, o bien en el momento cero de \(M’\), o bien cuando se vacía algún reloj debido a un giro anterior de \(M’\) porque lo mismo ocurre en \(M\).
- El momento inicial de \(M’\) se da en su momento cero.
- El momento en que acaba el reloj \(R_2\), es decir, el que no se ha girado en el último giro de \(M\), se da claramente cuando se vacía un reloj debido a un giro de \(M’\).
Como además el número de giros en \(M’\) es \(n_0 -1\) y \(n_0\) es el mínimo de \(A\), tenemos que la diferencia entre su momento final e inicial, es decir, el tiempo transcurrido hasta el momento inicial de \(M\), es de la forma \(T^{x,y}\). Llamemos a este tiempo \(T’\).
Por otra parte podemos considerar la medición \(M^{\prime\prime}\) en la que se realizan los mismos giros y en los mismos momentos que en \(M\), salvo el último, cuyo momento inicial es el momento cero de \(M\) y cuyo momento final es el último giro de \(M\). Veamos que \(M^{\prime\prime}\) es una medición exacta:
- Como \(M\) es una medición exacta comienza con su momento cero y, por tanto, lo mismo ocurre con \(M^{\prime\prime}\).
- Los giros en \(M^{\prime\prime}\) se dan, o bien en el momento cero de \(M»\), o bien cuando se vacía algún reloj debido a un giro anterior de \(M^{\prime\prime}\) porque lo mismo ocurre en \(M\).
- El momento inicial de \(M^{\prime\prime}\) se da en su momento cero.
- Como \(n_0 > 1\), el último giro de \(M\) se da cuando algún reloj se vacía debido a un giro anterior de \(M\), luego a un giro de \(M^{\prime\prime}\).
Como además el número de giros en \(M^{\prime\prime}\) es \(n_0 -1\) y \(n_0\) es el mínimo de \(A\), tenemos que la diferencia entre su momento final e inicial, es decir, el tiempo transcurrido hasta el último giro de \(M\), es de la forma \(T^{x,y}\). Llamemos a este tiempo \(T^{\prime\prime}\).
Finalmente, observemos que el tiempo transcurrido hasta el momento final de \(M\) será la suma de \(T^{\prime\prime}\) más \(x\) o \(y\), en función de cual sea el reloj \(R_1\), luego la diferencia entre el momento final e inicial de \(M\) será \((T^{\prime\prime} + x) – T’\) o \((T^{\prime\prime} + y) – T’\) y en cualquier caso es de la forma \(T^{x,y}\) (por el Lema 3.1), con lo que tenemos una contradicción.
Hemos visto que, independientemente de cuándo ocurran los momentos inicial y final de \(M\), siempre tenemos una contradicción. Por tanto, no es posible que haya algún tiempo medible que no sea de la forma \(T^{x,y}\), dicho de otro modo, todo tiempo medible es de la forma \(T^{x,y}\) tal y como queríamos ver. \(\blacksquare\)
- La reducción al absurdo es una técnica de demostración muy conocida en lógica, filosofía y matemáticas. La idea es que si queremos probar que cierta afirmación \(P\) es verdadera, lo que podemos hacer es suponer que es falsa y, si a partir de esta suposición y consecuencias lógicas de la misma llegamos a algún tipo de contradicción, entonces es que nuestra suposición era errónea porque el edificio de la lógica está libre de contradicciones (de algo verdadero no podemos llegar a algo falso). Ahora bien, que nuestra suposición sea errónea significa precisamente que \(P\) no puede ser falsa, es decir, que es verdadera tal y como queríamos demostrar. ↩︎