Ya hemos visto que todo grupo ordenado Dedekind-completo es arquimediano y Cauchy-completo, con lo que resta ver el recíproco.
Para demostrarlo, necesitaremos algunos lemas auxiliares, siendo el primero de ellos muy similar al Teorema 4.21:
Lema 1: Sea \(G\) un grupo ordenado arquimediano. Entonces toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es de Cauchy.
Demostración
Supongamos, por reducción al absurdo, que existe \(\{x_n\}_{n=0}^\infty\) una sucesión de \(G\) decreciente y acotada inferiormente, pero que no es de Cauchy.
Entonces, por definición, debe existir un \(\varepsilon \in G\) con \(\varepsilon > 0\) tal que para todo \(N \in \mathbb{N}\), existen ciertos \(m > n \geq N\) tales que
\(x_n – x_m \geq \varepsilon. \qquad (1)\)
En particular, esto nos permite construir una sucesión de números naturales \(\{n_k\}_{k=0}^\infty\) estrictamente decreciente y de modo que
\(x_{n_k} – x_{n_{k+1}} \geq \varepsilon \qquad (2)\)
para cada \(k \in \mathbb{N}\). En efecto, definimos \(n_0 = 0\) y por recursión1¿Por qué el conjunto que define \(n_{k+1}\) nunca es vacío?
\(n_{k+1} = \min\, \{n \in \mathbb{N} : n > n_k \text{ y } x_{n_k} – x_n \geq \varepsilon\}.\)
Ahora, si es \(y \in G\) una cota inferior de \(\{x_n\}\), como \(G\) arquimediano y2¿Por qué no puede ser \(x_0 = y\)? \(x_0 – y > 0\), existe cierto \(N \in \mathbb{N}\) tal que
\(N \varepsilon > x_0 – y. \qquad (3)\)
Por otra parte, por (2) es inmediato demostrar por inducción que
\(\displaystyle m \varepsilon \leq \sum_{k=0}^{m-1} \left( x_{n_k} – x_{n_{k+1}} \right)\)
para cada \(m \geq 1\), luego en particular
\(\displaystyle N \varepsilon \leq \sum_{k=0}^{N-1} \left( x_{n_k} – x_{n_{k+1}} \right) = x_0 – x_{n_{N}} \leq x_0 – y,\)
y obtenemos con ello una contradicción con (3). \(\blacksquare\)
Entre quienes ya sepan del tema, conocerán la demostración clásica de que un cuerpo ordenado Cauchy-completo y arquimediano es Dedekind-completo, pero para adaptarla al caso de grupos ordenados necesitaremos el siguiente lema:
Lema 2: Sea \(G\) un grupo ordenado arquimediano y Cauchy-completo en el cual no existe un elemento positivo mínimo.3Un elemento positivo mínimo en un grupo ordenado \(G\) es un elemento \(g \in G\) tal que \(g > 0\) y \(g \leq x\) para cada \(x \in G\) con \(x > 0\). Entonces existe una sucesión \(\{\varepsilon_n\}_{n=0}^\infty\) de elementos positivos de \(G\) que es estrictamente decreciente y tal que \(\lim \varepsilon_n = 0\).
Demostración
Dado \(x_0 \in G\) con \(x_0 > 0\), es inmediato que podemos definir de forma recursiva una sucesión estrictamente decreciente \(\{x_n\}\) tal que \(x_n >0\) para cada \(n \in \mathbb{N}\). En efecto, supuesto definido \(x_n > 0\), como \(G\) no tiene elemento positivo mínimo, debe existir cierto \(x_{n+1} \in G\) tal que
\(0 < x_{n+1} < x_{n}.\)
Ahora, por el Lema 1 sabemos que \(\{x_n\}\) es de Cauchy, luego como \(G\) es Cauchy-completo, converge a cierto \(x \in G\). Además, gracias al Teorema 4.21 podemos asegurar que \(x \leq x_n\) para cada \(n \in \mathbb{N}\). Más aún, como la sucesión es estrictamente decreciente, tiene que ser \(x < x_n\) para cada \(n \in \mathbb{N}\), pues si fuera \(x = x_m\) para algún \(m \in \mathbb{N}\), entonces \(x_{m+1} < x_m = x \leq x_{m+1}\). Definiendo entonces \(\varepsilon_n := x_n – x\) es claro que obtenemos una sucesión estrictamente decreciente, de elementos positivos y cuyo límite es nulo. \(\blacksquare\)
Por último, veamos que los grupos ordenados arquimedianos en los que existe un elemento positivo mínimo son esencialmente iguales al conjunto de los números enteros:
Lema 3: Sea \(G\) un grupo ordenado arquimediano en el cual existe un elemento positivo mínimo. Si dicho elemento lo denotamos por \(g\), entonces
\(G= \{k g : k \in \mathbb{Z}\}.\)
Demostración
Dado \(x \in G\) con \(x > 0\), por ser \(G\) arquimediano sabemos que existe un \(n \in \mathbb{N}\) tal que \(x < ng\). Tomando entonces \(m \in \mathbb{N}\) como el menor natural que cumple esto, es claro que \(m > 1\) (pues \(g \leq x\)) y tenemos que \((m-1)g \leq x < mg\) siendo \(m-1 \geq 1\). Esto nos muestra que
\(0 \leq x – (m-1)g < g\)
y, por ser \(g\) el menor elemento positivo de \(G\), concluimos que \(x – (m-1)g = 0\), es decir, que \(x = (m-1)g\).
Por otro lado, si \(x < 0\), entonces \(-x > 0\) y por lo visto será \(-x = kg\) para algún \(k \in \mathbb{N}\), luego \(x = (-k)g\).
Finalmente, si \(x = 0\), claramente \(x = 0 g\).
En definitiva, hemos demostrado que
\(G \subset \{k g : k \in \mathbb{Z}\},\)
y como el otro contenido es trivial, queda demostrada la igualdad buscada. \(\blacksquare\)
Ahora ya contamos con las herramientas necesarias para completar la demostración del Teorema 4.29.
Sea \(G\) un grupo ordenado arquimediano y Cauchy-completo, y \(A \subset G\) un subconjunto no vacío y acotado superiormente. Distingamos dos casos.
En primer lugar, supongamos que en \(G\) existe un elemento positivo mínimo \(g\).
Por el Lema 3 sabemos que
\(G = \{k g : k \in \mathbb{Z}\},\)
luego si \(x \in G\) es cota superior de \(A\) existirá cierto \(m \in \mathbb{Z}\) tal que \(x = mg\). Si ahora definimos el conjunto
\(B := \{n \in \mathbb{Z}: ng \in A\},\)
es claro que no es vacío, pues todo elemento de \(A\) es de la forma \(kg\) para algún entero \(k\), y está acotado superiormente por \(m\). Por tanto, existe su máximo \(n_0\) y \(n_0 g \in A\) será el supremo (de hecho el máximo) de \(A\) (¿por qué?).
Supongamos ahora que en \(G\) no existe un elemento positivo mínimo.
Por el Lema 2 existe una sucesión \(\{\varepsilon_n\}_{n=0}^\infty\) estrictamente decreciente y de elementos positivos tal que \(\lim \varepsilon_n = 0\).
Si \(A\) tiene máximo, entonces será su supremo (¿por qué?). Por tanto, supongamos que \(A\) no tiene máximo y veamos que podemos construir un par de sucesiones \(\{a_n\}_{n=0}^\infty\) y \(\{b_n\}_{n=0}^\infty\) que cumplen:
- \(\{a_n\}\) es creciente y está contenida en \(A\).
- \(\{b_n\}\) es decreciente y cada uno de sus elementos es cota superior de \(A\).
- \(\lim (b_n – a_n) = 0\).
Veamos que, en caso de obtener estas dos sucesiones, podemos asegurar que existe el supremo de \(A\).
Dado \(\varepsilon \in G\) con \(\varepsilon > 0\), por (iii) sabemos que existe un \(N \in \mathbb{N}\) tal que si \(n \geq N\), entonces
\(b_n – a_n < \varepsilon. \qquad (4)\)
Si son entonces \(n, m \geq N\), digamos \(n \geq m\), como \(b_m\) es cota superior de \(A\) será \(a_n \leq b_m\) y así
\(\left| a_n – a_m \right| \underset{\text{(i)}}{\leq} a_n – a_m \leq b_m – a_m \underset{\text{(4)}}{<} \varepsilon.\)
Esto prueba que \(\{a_n\}\) es una sucesión de Cauchy y como \(G\) es Cauchy-completo, que converge a cierto \(x \in G\). Además, por (i) y el Teorema 4.21 sabemos que \(a_n \leq x\) para cada \(n \in \mathbb{N}\), mientras que como fijado \(m \in \mathbb{N}\) sabemos que \(a_n \leq b_m\) para cada \(n \in \mathbb{N}\), el Teorema 4.18 (ii) nos asegura que \(x \leq b_m\).
Veamos que \(x\) es el supremo de \(A\).
Por un lado, si \(x\) no fuera cota superior de \(A\), entonces debería existir cierto \(y \in A\) tal que \(x < y\), pero entonces
\(a_n \leq x < y \leq b_n\)
para cada \(n \in \mathbb{N}\), con lo que
\(0 \leq x – a_n < y – a_n \leq b_n-a_n\)
para cada \(n \in \mathbb{N}\), y el criterio del sándwich (Proposición 4.19) junto a (iii) nos da que \(\lim (y – a_n) = 0\). Esto implica que \(y = x\) (¿por qué?) y obtenemos la contradicción buscada.
Por otra parte, si \(y\) es cota superior de \(A\) e \(y < x\), entonces nuevamente tenemos que
\(a_n \leq y < x \leq b_n\)
para cada \(n \in \mathbb{N}\), con lo que razonando como antes obtenemos que \(y = x\), luego una contradicción.
En definitiva, hemos visto que \(x\) es el supremo de \(A\), con lo que hemos probado su existencia, que es lo que buscábamos.
Por tanto, para concluir la prueba solo nos queda demostrar que realmente existen las sucesiones \(\{a_n\}\) y \(\{b_n\}\) cumpliendo los tres puntos anteriores.
Definamos en primer lugar \(\{b_n\}\).
Para ello, tomemos \(a_0 \in A\) y definamos para cada \(n \in \mathbb{N}\) el conjunto
\(B_n := \{m \in \mathbb{N}: a \leq a_0 + m \varepsilon_n \text{ para cada } a \in A\}.\)
Al ser \(A\) acotado superiormente, \(\varepsilon_n > 0\) y \(G\) arquimediano podemos asegurar que este conjunto no es vacío (¿por qué?) y con ello que existe \(m_n\) su mínimo, el cual será además estrictamente mayor que \(0\) al no tener \(A\) máximo.
Definimos entonces la sucesión \(\{c_n\}_{n=0}^\infty\) como
\(c_n := a_0 + m_n \varepsilon_n,\)
y para cada \(n \in \mathbb{N}\) definimos
\(b_n := \min \{c_0, \ldots, c_n\}.\)
Esto nos asegura que la sucesión \(\{b_n\}\) es decreciente (¿por qué?) y además que cada \(b_n\) es cota superior de \(A\), puesto que cada \(c_n\) lo es. Es decir, la sucesión \(\{b_n\}\) satisface (ii).
Pasemos ahora a definir \(\{a_n\}\) de forma recursiva.
Supuesto definido \(a_n\), observemos que como \(c_{n+1} – \varepsilon_{n+1}\) no es cota superior de \(A\) (por la minimalidad de \(m_{n+1}\)), existe cierto \(a \in A\) tal que
\(c_{n+1} – \varepsilon_{n+1} < a. \qquad (5)\)
Además, si cada \(a \in A\) satisfaciendo (5) fuera estrictamente menor que \(a_n\), entonces \(a_n\) sería el máximo de \(A\) (¿por qué?), cosa que no puede ocurrir, luego debe existir cierto \(a_{n+1} \in A\) satisfaciendo (5) y de modo que \(a_n \leq a_{n+1}\).
Es claro que la sucesión \(\{a_n\}_{n=0}^\infty\) que hemos construido satisface (i) y que
\(b_n – \varepsilon_n \leq c_{n} – \varepsilon_{n} < a_n\)
para cada \(n \geq 1\). Como además \(a_n \leq b_n\) al ser \(b_n\) cota superior de \(A\), obtenemos que
\(0 \leq b_n – a_n < \varepsilon_n\)
para cada \(n \geq 1\), y el criterio del sándwich nos asegura entonces que \(\lim (b_n – a_n) = 0\), tal y como queríamos demostrar.