Comencemos demostrando el Lema 4.4.
Para demostrar (i), observemos que si \(x = 0\), entonces claramente \(\left| x \right| = x = 0\), luego solo resta por demostrar la implicación recíproca. Es decir, supongamos que \(\left| x \right| = 0\) y veamos que entonces \(x = 0\). Si fuera \(x < 0\), entonces \(-x = \left| x \right| = 0\), pero esto implica que \(x = 0\) y tenemos una contradicción. Por tanto, debe ser \(x \geq 0\) y con ello \(0 = \left| x \right| = x\) tal y como queríamos ver.
Para demostrar (ii) distingamos tres casos:
- Si \(x > 0\), entonces \(\left| x \right| = x\), mientras que \(-x <0\), luego \(\left| -x \right| = -(-x) = x\).
- Si \(x = 0\), entonces \(\left| x \right| = 0 = \left| -0 \right| =\left| -x \right|\).
- Si \(x < 0\), entonces \(\left| x \right| = -x\), mientras que \(-x >0\), luego \(\left| -x \right| = -x\).
En cualquier caso vemos que \(\left| x \right| = \left| -x \right|\) tal y como buscábamos ver.
Para demostrar (iii) observemos que si \(x \geq 0\), entonces \(-x \leq 0 \leq x\) y así
\(0 \leq \max{x, -x} = x = \left| x \right|. \qquad (1)\)
Por otro lado, si \(x < 0\), entonces \(-x > 0 > x\) y así
\(0 < \max{x, -x} = -x = \left| x \right| \qquad (2)\)
Juntando (1) y (2) obtenemos (iii) de forma inmediata.
Para demostrar (iv) tenemos que distinguir nuevamente dos casos. Si \(x + y \geq 0\), entonces
\(\left| x + y \right| = x + y \underset{\text{(iii)}}{\leq} \left| x \right| + \left| y \right|,\)
mientras que si \(x + y < 0\), entonces
\(\left| x + y \right| = -(x + y) = -x + (-y) \underset{\text{(iii)}}{\leq} \left| x \right| + \left| y \right|.\)
En cualquier caso queda demostrado (iv).
La demostración de (v) es una consecuencia inmediata de (iv):
- Si \(\left| y \right| \leq \left| x \right|\), entonces
\(\left| |x| – |y| \right| = \left| x \right| – \left| y \right|. \qquad (3)\)
Además, por (iv) tenemos que\(\left| x \right| = \left| (x – y) + y \right| \leq \left| x – y \right| + \left| y \right|,\)
con lo que\(\left| x \right| – \left| y \right| \leq \left| x – y \right|,\)
que por (3) es justo lo que queremos ver. - Si \(\left| x \right| < \left| y \right|\), entonces
\(\left| |x| – |y| \right| = – (\left| x \right| – \left| y \right|) = \left| y \right| – \left| x \right|. \qquad (4)\)
Además, por (ii) y (iv) tenemos que\(\left| y \right| = \left| (y – x) + x \right| \leq \left| y – x \right| + \left| x \right| = \left| -(y-x) \right| + \left| x \right| = \left| x – y \right| + \left| x \right|,\)
con lo que\(\left| y \right| – \left| x \right| \leq \left| x – y \right|,\)
que por (4) es justo lo que queremos ver.
Veamos ahora la demostración de (vi).
Si \(\left| x \right| < y\), para variar distingamos dos casos.
Si \(x \geq 0\), entonces
\(0 \leq x = \left| x \right| < y,\)
con lo que \(y > 0\) y así \(– y < 0\), obteniendo que
\(– y < 0 \leq x = \left| x \right| < y. \qquad (5)\)
Por otro lado, si \(x < 0\), entonces \(– x > 0\) y \(\left| x \right| = – x\), con lo que
\(0 < – x = \left| x \right| < y.\)
Esto implica que \(– y < x\) y con ello
\(– y < x < 0 < – x = \left| x \right| < y. \qquad (6)\)
En cualquier caso, de (5) y de (6) obtenemos que
\(– y < x < y.\)
Recíprocamente, supongamos que \(– y < x < y\). Entonces, si \(x \geq 0\) tenemos que
\(\left| x \right| = x < y,\)
mientras que si \(x < 0\), como \(– x < y\) (por ser \(-y < x\)) tenemos que
\(\left| x \right| = – x < y.\)
En cualquier caso obtenemos que \(\left| x \right| < y\) tal y como queríamos ver.
Supongamos ahora que \(G\) es un cuerpo ordenado y demostremos (vii).
Para ello distinguiremos varios casos:
- Si \(x = 0\) o \(y = 0\), entonces \(x \cdot y = 0\) y \(\left| x \right| = 0\) o \(\left| y \right| = 0\), luego
\(\left| x \cdot y \right| = 0 = \left| x \right| \cdot \left| y \right|.\)
Podemos suponer entonces en el resto de casos que \(x\) e \(y\) son no nulos. - Si \(x > 0\) e \(y > 0\), entonces \(x \cdot y > 0\) y tenemos que
\(\left| x \cdot y \right| = x \cdot y = \left| x \right| \cdot \left| y \right|.\)
- Si \(x > 0\) e \(y < 0\), entonces \(x \cdot y < 0\) y tenemos que
\(\left| x \cdot y \right| = – (x \cdot y) = x \cdot (-y) = \left| x \right| \left| y \right|.\)
- Si \(x < 0\) e \(y > 0\) se prueba de forma análoga al punto anterior.
- Si \(x <0\) e \(y < 0\), entonces \(x \cdot y > 0\) y tenemos que
\(\left| x \cdot y \right| = x \cdot y = (-x) \cdot (-y) = \left| x \right| \cdot \left| y \right|.\)
Vemos que en cualquier caso se cumple lo deseado.
Finalmente demostraremos (viii), para lo cual, por (vii), basta ver que
\(\left| \dfrac{1}{y} \right| = \dfrac{1}{\left| y \right|}. \qquad (7)\)
Además, también por (vii) se tiene que
\(1 = \left| y \cdot \dfrac{1}{y} \right| = \left| y \right| \cdot \left| \dfrac{1}{y} \right|,\)
luego el inverso de \(\left| y \right|\) es justamente \(\left| \frac{1}{y} \right|\), que es lo que queríamos demostrar en (7).
Con esto podemos dar por finalizada la demostración del Lema 4.4.
Veamos ahora la demostración del Lema 4.3.
La demostración de (i) es inmediata, pues
\(d(x,x) = \left| x – x \right| = \left| 0 \right| = 0.\)
Por otra parte, la demostración de (ii) es una consecuencia inmediata del Lema 4.4 (i), ya que si \(d(x,y) = 0\), entonces \(\left| x – y \right|= 0\) y dicho lema nos dice que \(x – y = 0\), luego que \(x = y\).
Para demostrar (iii) observemos que por el Lema 4.4 (ii) tenemos que
\(d(x,y) = \left| x – y \right| = \left| -(x – y) \right| = \left| y – x \right| = d(y, x).\)
Por último, la demostración de (iv) es consecuencia inmediata del Lema 4.4 (iv), ya que
\(d(x,z) = \left| x – z \right| = \left| (x – y) + (y – z) \right| \leq \left| x – y \right| + \left| y – z \right| = d(x,y) + d(y,z).\)
Con esto quedan demostrados los cuatro puntos del Lema 4.3.